### Find angle at the circumference of circle given two intersecting circles that center of larger circle is tangential to small circle

Question Sample Titled 'Find angle at the circumference of circle given two intersecting circles that center of larger circle is tangential to small circle'

In the figure, ${P}{Q}$ is the tangent to the circle ${A}{B}{C}$ at ${O}$, where ${O}$ is the centre of the semicircle ${P}{B}{Q}$. It is given that ${B}{C}{P}$ is a straight line. If $\angle{B}{P}{Q}={26}^{\circ}$ , then $\angle{B}{A}{C}=$

${A}$${O}$${P}$${Q}$${B}$${C}$
A
${78}^{\circ}$ .
B
${39}^{\circ}$ .
C
${52}^{\circ}$ .
D
${91}^{\circ}$ .

 Method ${1}$: Using cyclic quadralateral Join ${O}{C}$ and ${O}{B}$ . ∵  ${O}{P}$ $={O}{B}$ radii ∴  $\angle{O}{B}{P}$ $={26}^{\circ}$ base ∠s, isos. △ $\angle{B}{O}{Q}$ $={26}^{\circ}+{26}^{\circ}={52}^{\circ}$ ext. ∠ of △ $\angle{O}{C}{B}$ $={52}^{\circ}$ ∠ in alt. segment Consider $\triangle{C}{O}{B}$ , $\angle{C}{O}{B}$ $={180}^{\circ}-{52}^{\circ}-{26}^{\circ}={102}^{\circ}$ ∠ sum of △ ∴  $\angle{B}{A}{C}$ $={180}^{\circ}-{102}={78}^{\circ}$ opp. ∠s, cyclic quad.

${A}$${O}$${P}$${Q}$${B}$${C}$${78}^{\circ}$${26}^{\circ}$${26}^{\circ}$${52}^{\circ}$${52}^{\circ}$${102}^{\circ}$

 Method ${2}$: Using angle in the same segment Join ${O}{C}$ , ${O}{B}$ and ${A}{O}$ . ∵  ${O}{P}$ $={O}{B}$ radii ∴  $\angle{O}{B}{P}$ $={26}^{\circ}$ base ∠s, isos. △ $\angle{B}{O}{Q}$ $={26}^{\circ}+{26}^{\circ}={52}^{\circ}$ ext. ∠ of △ $\angle{O}{C}{B}$ $={52}^{\circ}$ ∠ in alt. segment  $\angle{C}{A}{O}$ $=\angle{O}{B}{P}={26}^{\circ}$ ∠s in the same segment $\angle{O}{A}{B}$ $=\angle{O}{C}{B}={52}^{\circ}$ ∠s in the same segment ∴  $\angle{B}{A}{C}$ $=\angle{C}{A}{O}+\angle{O}{A}{B}$  $={26}^{\circ}+{52}^{\circ}$  $={78}^{\circ}$

${A}$${O}$${P}$${Q}$${B}$${C}$${26}^{\circ}$${26}^{\circ}$${52}^{\circ}$${52}^{\circ}$${26}^{\circ}$${52}^{\circ}$

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