find angle at centre using three sides of a triangle are three equal chords of a circle

Question Sample Titled 'find angle at centre using three sides of a triangle are three equal chords of a circle'

題目

In the figure, O{O} is the centre of circle ABCDE{A}{B}{C}{D}{E}. PQD\triangle{P}{Q}{D} intersects with the circle at A{A} , B{B} , C{C} , D{D} and E{E}. If PDQ=80\angle{P}{D}{Q}={80}^{\circ} and AB=CD=DE{A}{B}={C}{D}={D}{E}, then POQ=\angle{P}{O}{Q}=

A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}O{O}P{P}Q{Q}80{80}^{\circ}
A
130{130}^{\circ} .
B
160{160}^{\circ} .
C
100{100}^{\circ} .
D
50{50}^{\circ} .
題解

A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}O{O}P{P}Q{Q}80{80}^{\circ}M{M}N{N}R{R}

Consider OQM\triangle{O}{Q}{M} and OQN\triangle{O}{Q}{N},
OQ{O}{Q}=OQ={O}{Q}common side
OMQ\angle{O}{M}{Q}=ONQ=90=\angle{O}{N}{Q}={90}^{\circ}line joining centre to mid-pt. of chord ⊥ chord
OM{O}{M}=ON={O}{N}equal chords, equidstant from centre
∴  OQM\triangle{O}{Q}{M}=OQN\stackrel{\sim}{=}\triangle{O}{Q}{N}RHS
OQM\angle{O}{Q}{M}=OQN=\angle{O}{Q}{N}corr. ∠s ≅△s
Similarly, OPM\triangle{O}{P}{M}=OPR\stackrel{\sim}{=}\triangle{O}{P}{R}RHS
OPM\angle{O}{P}{M}=OPR=\angle{O}{P}{R}corr. ∠s ≅△s

A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}O{O}P{P}Q{Q}80{80}^{\circ}M{M}N{N}R{R}x{x}x{x}y{y}y{y}

Let OQM=OQN=x\angle{O}{Q}{M}=\angle{O}{Q}{N}={x} and OPM=OPR=y\angle{O}{P}{M}=\angle{O}{P}{R}={y}.
In PDQ\triangle{P}{D}{Q},
80+2x+2y{80}^{\circ}+{2}{x}+{2}{y}=180={180}^{\circ}∠ sum of △
x+y{x}+{y}=50={50}^{\circ}
In POQ\triangle{P}{O}{Q},
POQ+x+y\angle{P}{O}{Q}+{x}+{y}=180={180}^{\circ}∠ sum of △
POQ+50\angle{P}{O}{Q}+{50}^{\circ}=180={180}^{\circ}
POQ\angle{P}{O}{Q}=130={130}^{\circ}



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