### Find an angle in a triangle with three vertices given

Question Sample Titled 'Find an angle in a triangle with three vertices given'

The vertices of $\triangle{A}{B}{C}$ are ${A}{\left({4},{5}\right)},{B}{\left({2},{0}\right)}$ and ${C}{\left({14},-{4}\right)}$. Find $\angle{A}{B}{C}$, corrected to the nearest degree.

A
${87}^{\circ}$
B
${90}^{\circ}$
C
${112}^{\circ}$
D
${79}^{\circ}$

${x}$${y}$${A}{\left({4},{5}\right)}$${B}{\left({2},{0}\right)}$${C}{\left({14},-{4}\right)}$$\alpha$$\beta$

 Consider the inclination of straight line ${B}{A}$ and ${B}{C}.$ Let $\alpha$ and $\beta$ be the angle that line ${B}{A}$ and ${B}{C}$ makes with the positive ${x}$-axis respectively. ${\tan{\alpha}}$ $=\dfrac{{{5}-{0}}}{{{4}-{2}}}=\dfrac{{5}}{{2}}$ $\alpha$ $\approx{68.19859}^{\circ}$ ${\tan{{\left(-\beta\right)}}}$ $=\dfrac{{-{4}-{0}}}{{{14}-{2}}}=-\dfrac{{1}}{{3}}$ or directly consider the lengths of the right-angled triangle:${\tan{\beta}}=\dfrac{{4}}{{12}}$ $-\beta$ $\approx-{18.43495}^{\circ}$ $\beta$ $={18.43495}^{\circ}$ $\angle{A}{B}{C}$ $={68.19859}^{\circ}+{18.43495}^{\circ}$  $={86.63354}^{\circ}$  $={87}^{\circ}$ (cor. to the nearest degree)

 ${A}{B}$ $=\sqrt{{{\left({4}-{2}\right)}^{{2}}+{\left({5}-{0}\right)}^{{2}}}}=\sqrt{{{29}}}$ ${B}{C}$ $=\sqrt{{{\left({2}-{14}\right)}^{{2}}+{\left({0}+{4}\right)}^{{2}}}}=\sqrt{{{160}}}$ ${A}{C}$ $=\sqrt{{{\left({4}-{14}\right)}^{{2}}+{\left({5}+{4}\right)}^{{2}}}}=\sqrt{{{181}}}$ ${\cos}\angle{A}{B}{C}$ $=\dfrac{{{\left({A}{B}\right)}^{{2}}+{\left({B}{C}\right)}^{{2}}-{\left({A}{C}\right)}^{{2}}}}{{{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({B}{C}\right)}}}$  $=\dfrac{{{29}+{160}-{181}}}{{{2}{\left(\sqrt{{{29}}}\right)}{\left(\sqrt{{{160}}}\right)}}}$ $\angle{A}{B}{C}$ $\approx{86.63354}^{\circ}$  $={87}^{\circ}$ (cor. to the nearest degree)

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