### Find an angle at the center of a circle by various method

Question Sample Titled 'Find an angle at the center of a circle by various method'

In the figure, ${O}$ is the centre of the circle ${A}{B}{C}{D}{E}$ . If $\angle{A}{B}{E}={28}^{\circ}$ and $\angle{C}{D}{E}={115}^{\circ}$ , then $\angle{A}{O}{C}=$

${115}^{\circ}$${28}^{\circ}$${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$${O}$
A
${174}^{\circ}$ .
B
${160}^{\circ}$ .
C
${188}^{\circ}$ .
D
${143}^{\circ}$ .

 Method ${1}$ : Join ${B}{C}$ . $\angle{C}{B}{E}$ $={180}^{\circ}-{115}^{\circ}={65}^{\circ}$ opp. ∠s, cyclic quad. reflex $\angle{C}{O}{A}$ $={2}\times{\left({65}^{\circ}+{28}^{\circ}\right)}={186}^{\circ}$ ∠ at centre twice ∠ at ⊙ce $\therefore\angle{C}{O}{A}$ $={360}^{\circ}-{186}^{\circ}$ ∠s at a pt. $={174}^{\circ}$

${115}^{\circ}$${28}^{\circ}$${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$${O}$${65}^{\circ}$${186}^{\circ}$

 Method ${2}$ : Join ${O}{E}$ . $\angle{E}{O}{A}$ $={2}\times{28}^{\circ}={56}^{\circ}$ ∠s in the same segment reflex $\angle{C}{O}{E}$ $={2}\times{115}^{\circ}={230}^{\circ}$ ∠ at centre twice ∠ at ⊙ce $\therefore\angle{C}{O}{A}$ $={230}^{\circ}-{56}^{\circ}$ $={174}^{\circ}$

${115}^{\circ}$${28}^{\circ}$${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$${O}$${56}^{\circ}$${230}^{\circ}$

 Method ${3}$ : Join ${A}{D}$ . $\angle{A}{D}{E}$ $={28}^{\circ}$ ∠s in the same segment $\angle{C}{D}{A}$ $={115}^{\circ}-{28}^{\circ}={87}^{\circ}$ $\therefore\angle{C}{O}{A}$ $={2}\times{87}^{\circ}$ ∠ at centre twice ∠ at ⊙ce $={174}^{\circ}$

${28}^{\circ}$${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$${O}$${28}^{\circ}$${115}^{\circ}$

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