Find an angle at the center of a circle by various method

Question Sample Titled 'Find an angle at the center of a circle by various method'

題目

In the figure, O{O} is the centre of the circle ABCDE{A}{B}{C}{D}{E} . If ABE=28\angle{A}{B}{E}={28}^{\circ} and CDE=115\angle{C}{D}{E}={115}^{\circ} , then AOC=\angle{A}{O}{C}=

115{115}^{\circ}28{28}^{\circ}A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}O{O}
A
174{174}^{\circ} .
B
160{160}^{\circ} .
C
188{188}^{\circ} .
D
143{143}^{\circ} .
題解

Method 1{1} :Join BC{B}{C} .
CBE\angle{C}{B}{E}=180115=65={180}^{\circ}-{115}^{\circ}={65}^{\circ}opp. ∠s, cyclic quad.
reflex COA\angle{C}{O}{A}=2×(65+28)=186={2}\times{\left({65}^{\circ}+{28}^{\circ}\right)}={186}^{\circ}∠ at centre twice ∠ at ⊙ce
COA\therefore\angle{C}{O}{A}
=360186={360}^{\circ}-{186}^{\circ}∠s at a pt.
=174={174}^{\circ}

115{115}^{\circ}28{28}^{\circ}A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}O{O}65{65}^{\circ}186{186}^{\circ}

Method 2{2} :Join OE{O}{E} .
EOA\angle{E}{O}{A}=2×28=56={2}\times{28}^{\circ}={56}^{\circ}∠s in the same segment
reflex COE\angle{C}{O}{E}=2×115=230={2}\times{115}^{\circ}={230}^{\circ}∠ at centre twice ∠ at ⊙ce
COA\therefore\angle{C}{O}{A}
=23056={230}^{\circ}-{56}^{\circ}
=174={174}^{\circ}

115{115}^{\circ}28{28}^{\circ}A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}O{O}56{56}^{\circ}230{230}^{\circ}

Method 3{3} :Join AD{A}{D} .
ADE\angle{A}{D}{E}=28={28}^{\circ}∠s in the same segment
CDA\angle{C}{D}{A}=11528=87={115}^{\circ}-{28}^{\circ}={87}^{\circ}
COA\therefore\angle{C}{O}{A}
=2×87={2}\times{87}^{\circ}∠ at centre twice ∠ at ⊙ce
=174={174}^{\circ}

28{28}^{\circ}A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}O{O}28{28}^{\circ}115{115}^{\circ}


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