Find an angle at the center of a circle by various method

Question Sample Titled 'Find an angle at the center of a circle by various method'

題目

In the figure, ${O}$ is the centre of the circle ${A}{B}{C}{D}{E}$ . If $\angle{A}{B}{E}={28}^{\circ}$ and $\angle{C}{D}{E}={115}^{\circ}$ , then $\angle{A}{O}{C}=$

{115}^{\circ}

{28}^{\circ}

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{O}

{174}^{\circ}

{160}^{\circ}

{188}^{\circ}

{143}^{\circ}

題解

Method ${1}$ :	Join ${B}{C}$ .
	$\angle{C}{B}{E}$	$={180}^{\circ}-{115}^{\circ}={65}^{\circ}$	opp. ∠s, cyclic quad.
	reflex $\angle{C}{O}{A}$	$={2}\times{\left({65}^{\circ}+{28}^{\circ}\right)}={186}^{\circ}$	∠ at centre twice ∠ at ⊙^ce
	$\therefore\angle{C}{O}{A}$
	$={360}^{\circ}-{186}^{\circ}$		∠s at a pt.
	$={174}^{\circ}$

{115}^{\circ}

{28}^{\circ}

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{O}

{65}^{\circ}

{186}^{\circ}

Method ${2}$ :	Join ${O}{E}$ .
	$\angle{E}{O}{A}$	$={2}\times{28}^{\circ}={56}^{\circ}$	∠s in the same segment
	reflex $\angle{C}{O}{E}$	$={2}\times{115}^{\circ}={230}^{\circ}$	∠ at centre twice ∠ at ⊙^ce
	$\therefore\angle{C}{O}{A}$
	$={230}^{\circ}-{56}^{\circ}$
	$={174}^{\circ}$

{115}^{\circ}

{28}^{\circ}

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{O}

{56}^{\circ}

{230}^{\circ}

Method ${3}$ :	Join ${A}{D}$ .
	$\angle{A}{D}{E}$	$={28}^{\circ}$	∠s in the same segment
	$\angle{C}{D}{A}$	$={115}^{\circ}-{28}^{\circ}={87}^{\circ}$
	$\therefore\angle{C}{O}{A}$
	$={2}\times{87}^{\circ}$		∠ at centre twice ∠ at ⊙^ce
	$={174}^{\circ}$

{28}^{\circ}

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{O}

{28}^{\circ}

{115}^{\circ}

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