Factorize a cubic function and identify whether the three roots are all integers

Question Sample Titled 'Factorize a cubic function and identify whether the three roots are all integers'

題目

Let ${f{{\left({x}\right)}}}={\left({x}-{3}\right)}^{{2}}{\left({x}+{h}\right)}+{k}$ , where ${h}$ and ${k}$ are constants. When ${f{{\left({x}\right)}}}$ is divided by ${x}-{3}$ , the remainder is ${4}$ . It is given that ${f{{\left({x}\right)}}}$ is divisible by ${x}-{4}$ .

(a)	Find ${h}$ and ${k}$ .									(3 marks)
(b)	Someone claims that all the roots of the equation ${f{{\left({x}\right)}}}$		$={0}$ are integers. Do you agree? Explain your answer.							(3 marks)

題解

(a)	By remainder theorem,
	${f{{\left({3}\right)}}}$	$={4}$
	${\left({3}-{3}\right)}^{{2}}{\left({x}+{h}\right)}+{k}$	$={4}$
	${k}$	$={4}$		1A

	By remainder theorem,
	${f{{\left({4}\right)}}}$	$={0}$		1M
	${\left({4}-{3}\right)}^{{2}}{\left({4}+{h}\right)}+{4}$	$={0}$
	${h}$	$=-{8}$		1A

(b)	${f{{\left({x}\right)}}}={\left({x}-{3}\right)}^{{2}}{\left({x}-{8}\right)}+{4}$		by part(a)
	${f{{\left({x}\right)}}}$	$={0}$
	${\left({x}-{3}\right)}^{{2}}{\left({x}-{8}\right)}+{4}$	$={0}$
	${\left({x}^{{2}}-{6}{x}+{9}\right)}{\left({x}-{8}\right)}+{4}$	$={0}$
	${\left({x}^{{3}}-{6}{x}^{{2}}+{9}{x}\right)}+{\left(-{8}{x}^{{2}}+{48}{x}-{72}\right)}+{4}$	$={0}$
	${x}^{{3}}-{14}{x}^{{2}}+{57}{x}-{68}$	$={0}$		1A
	By long division,
	${\left({x}-{4}\right)}{\left({x}^{{2}}-{10}{x}+{17}\right)}$	$={0}$		1M	for ${\left({x}-{4}\right)}{\left({a}{x}^{{2}}+{b}{x}+{c}\right)}$ , steps need not to be shown
	${\left({x}-{4}\right)}{\left[{x}+{\left({5}-{2}\sqrt{{{2}}}\right)}\right]}{\left[{x}-{\left({5}-{2}\sqrt{{{2}}}\right)}\right]}$	$={0}$
	∴ ${x}={4}$ or ${x}={5}\pm{2}\sqrt{{{2}}}$
	Note that both ${5}-{2}\sqrt{{{2}}}$ and ${5}+{2}\sqrt{{{2}}}$ are not integers.
	Thus, the claim is diagreed.			1A	f.t.

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