factor theorem

Question Sample Titled 'factor theorem'

題目

(a)	Prove that ${x}+{3}$ is a factor of ${f{{\left({x}\right)}}}={x}^{{3}}+{4}{x}^{{2}}-{27}{x}-{90}$ .	(1 mark)
(b)	Given that ${x}^{{2}}-{2}{x}-{15}$ is a factor of ${g{{\left({x}\right)}}}={x}^{{3}}+{a}{x}^{{2}}+{b}{x}+{30}$ , find the values of ${a}$ and ${b}$ .	(3 marks)
(c)	Hence, solve ${f{{\left({x}\right)}}}+{g{{\left({x}\right)}}}={0}$ .	(3 marks)

題解

(a)	${f{{\left(-{3}\right)}}}$	$={\left(-{3}\right)}^{{3}}+{4}{\left(-{3}\right)}^{{2}}-{27}{\left(-{3}\right)}-{90}$	1M
		$={0}$
	By factor theorem, ${x}+{3}$ is a factor of ${f{{\left({x}\right)}}}$ .

(b)	${x}^{{2}}-{2}{x}-{15}={\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}$
	By factor theorem, ${g{{\left({5}\right)}}}={0}$ and ${g{{\left(-{3}\right)}}}={0}$ .			1M
		${\left({5}\right)}^{{3}}+{a}{\left({5}\right)}^{{2}}+{b}{\left({5}\right)}+{30}$	$={0}$
		${\left(-{3}\right)}^{{3}}+{a}{\left(-{3}\right)}^{{2}}+{b}{\left(-{3}\right)}+{30}$	$={0}$
		${25}{a}+{5}{b}$	$=-{155}$
		${9}{a}-{3}{b}$	$=-{3}$
	Solving, we have
	${a}$		$=-{4}$	1A
	${b}$		$=-{11}$	1A

(c)	${f{{\left({x}\right)}}}$	$={x}^{{3}}+{4}{x}^{{2}}-{27}{x}-{90}$
		$={\left({x}+{3}\right)}{\left({x}^{{2}}+{x}-{30}\right)}$
		$={\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{6}\right)}{\left({x}-{5}\right)}$
	${g{{\left({x}\right)}}}$	$={x}^{{3}}-{4}{x}^{{2}}-{11}{x}+{30}$
		$={\left({x}-{5}\right)}{\left({x}^{{2}}+{x}-{6}\right)}$
		$={\left({x}-{5}\right)}{\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{3}\right)}$

${f{{\left({x}\right)}}}+{g{{\left({x}\right)}}}$	$={0}$
${\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{6}\right)}{\left({x}-{5}\right)}+{\left({x}-{5}\right)}{\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{3}\right)}$	$={0}$	1M
${\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{6}+{x}-{2}\right)}$	$={0}$	1M
${\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}{\left({2}{x}+{4}\right)}$	$={0}$
${\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{2}\right)}$	$={0}$
$\therefore{x}=-{3},-{2}$ or ${5}$		1A

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