### factor theorem

Question Sample Titled 'factor theorem'

 (a) Prove that ${x}+{3}$ is a factor of ${f{{\left({x}\right)}}}={x}^{{3}}+{4}{x}^{{2}}-{27}{x}-{90}$. (1 mark) (b) Given that ${x}^{{2}}-{2}{x}-{15}$ is a factor of ${g{{\left({x}\right)}}}={x}^{{3}}+{a}{x}^{{2}}+{b}{x}+{30}$, find the values of ${a}$ and ${b}$. (3 marks) (c) Hence, solve ${f{{\left({x}\right)}}}+{g{{\left({x}\right)}}}={0}$. (3 marks)

 (a) ${f{{\left(-{3}\right)}}}$ $={\left(-{3}\right)}^{{3}}+{4}{\left(-{3}\right)}^{{2}}-{27}{\left(-{3}\right)}-{90}$ 1M  $={0}$ By factor theorem, ${x}+{3}$ is a factor of ${f{{\left({x}\right)}}}$.

 (b) ${x}^{{2}}-{2}{x}-{15}={\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}$ By factor theorem, ${g{{\left({5}\right)}}}={0}$ and ${g{{\left(-{3}\right)}}}={0}$. 1M ${\left({5}\right)}^{{3}}+{a}{\left({5}\right)}^{{2}}+{b}{\left({5}\right)}+{30}$ $={0}$ ${\left(-{3}\right)}^{{3}}+{a}{\left(-{3}\right)}^{{2}}+{b}{\left(-{3}\right)}+{30}$ $={0}$ ${25}{a}+{5}{b}$ $=-{155}$ ${9}{a}-{3}{b}$ $=-{3}$ Solving, we have ${a}$ $=-{4}$ 1A ${b}$ $=-{11}$ 1A

 (c) ${f{{\left({x}\right)}}}$ $={x}^{{3}}+{4}{x}^{{2}}-{27}{x}-{90}$  $={\left({x}+{3}\right)}{\left({x}^{{2}}+{x}-{30}\right)}$  $={\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{6}\right)}{\left({x}-{5}\right)}$ ${g{{\left({x}\right)}}}$ $={x}^{{3}}-{4}{x}^{{2}}-{11}{x}+{30}$  $={\left({x}-{5}\right)}{\left({x}^{{2}}+{x}-{6}\right)}$  $={\left({x}-{5}\right)}{\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{3}\right)}$

 ${f{{\left({x}\right)}}}+{g{{\left({x}\right)}}}$ $={0}$ ${\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{6}\right)}{\left({x}-{5}\right)}+{\left({x}-{5}\right)}{\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{3}\right)}$ $={0}$ 1M ${\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{6}+{x}-{2}\right)}$ $={0}$ 1M ${\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}{\left({2}{x}+{4}\right)}$ $={0}$ ${\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{2}\right)}$ $={0}$ $\therefore{x}=-{3},-{2}$ or ${5}$ 1A

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