factor theorem

Question Sample Titled 'factor theorem'

題目

(a)Prove that x+3{x}+{3} is a factor of f(x)=x3+4x227x90{f{{\left({x}\right)}}}={x}^{{3}}+{4}{x}^{{2}}-{27}{x}-{90}.(1 mark)
(b)Given that x22x15{x}^{{2}}-{2}{x}-{15} is a factor of g(x)=x3+ax2+bx+30{g{{\left({x}\right)}}}={x}^{{3}}+{a}{x}^{{2}}+{b}{x}+{30}, find the values of a{a} and b{b}.(3 marks)
(c)Hence, solve f(x)+g(x)=0{f{{\left({x}\right)}}}+{g{{\left({x}\right)}}}={0}.(3 marks)

題解

(a)f(3){f{{\left(-{3}\right)}}}=(3)3+4(3)227(3)90={\left(-{3}\right)}^{{3}}+{4}{\left(-{3}\right)}^{{2}}-{27}{\left(-{3}\right)}-{90}1M
=0={0}
By factor theorem, x+3{x}+{3} is a factor of f(x){f{{\left({x}\right)}}}.

(b)x22x15=(x5)(x+3){x}^{{2}}-{2}{x}-{15}={\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}
By factor theorem, g(5)=0{g{{\left({5}\right)}}}={0} and g(3)=0{g{{\left(-{3}\right)}}}={0}.1M
(5)3+a(5)2+b(5)+30{\left({5}\right)}^{{3}}+{a}{\left({5}\right)}^{{2}}+{b}{\left({5}\right)}+{30}=0={0}
(3)3+a(3)2+b(3)+30{\left(-{3}\right)}^{{3}}+{a}{\left(-{3}\right)}^{{2}}+{b}{\left(-{3}\right)}+{30}=0={0}
25a+5b{25}{a}+{5}{b}=155=-{155}
9a3b{9}{a}-{3}{b}=3=-{3}
Solving, we have
a{a}=4=-{4}1A
b{b}=11=-{11}1A

(c)f(x){f{{\left({x}\right)}}}=x3+4x227x90={x}^{{3}}+{4}{x}^{{2}}-{27}{x}-{90}
=(x+3)(x2+x30)={\left({x}+{3}\right)}{\left({x}^{{2}}+{x}-{30}\right)}
=(x+3)(x+6)(x5)={\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{6}\right)}{\left({x}-{5}\right)}
g(x){g{{\left({x}\right)}}}=x34x211x+30={x}^{{3}}-{4}{x}^{{2}}-{11}{x}+{30}
=(x5)(x2+x6)={\left({x}-{5}\right)}{\left({x}^{{2}}+{x}-{6}\right)}
=(x5)(x2)(x+3)={\left({x}-{5}\right)}{\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{3}\right)}

f(x)+g(x){f{{\left({x}\right)}}}+{g{{\left({x}\right)}}}=0={0}
(x+3)(x+6)(x5)+(x5)(x2)(x+3){\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{6}\right)}{\left({x}-{5}\right)}+{\left({x}-{5}\right)}{\left({x}-{2}\right)}{\left({x}+{3}\right)}=0={0}1M
(x5)(x+3)(x+6+x2){\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{6}+{x}-{2}\right)}=0={0}1M
(x5)(x+3)(2x+4){\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}{\left({2}{x}+{4}\right)}=0={0}
(x5)(x+3)(x+2){\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{3}\right)}{\left({x}+{2}\right)}=0={0}
x=3,2\therefore{x}=-{3},-{2} or 5{5}1A



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