### Express tan theta in a cuboid given length of three sides

Question Sample Titled 'Express tan theta in a cuboid given length of three sides'

The figure shows a cuboid ${A}{B}{C}{D}{E}{F}{G}{H}$. If the angle between the triangle ${A}{C}{E}$ and the plane ${A}{B}{C}{D}$ is $\theta$ , then ${\tan{\theta}}=$

${A}$${B}$${C}$${E}$${F}$${H}$${D}$${G}$${60}$ cm${11}$ cm${8}$ cm
A
$\dfrac{{122}}{{165}}$ .
B
$\dfrac{{165}}{{122}}$ .
C
$\dfrac{{660}}{{61}}$ .
D
$\dfrac{{8}}{{11}}$ .

${A}$${B}$${C}$${E}$${F}$${H}$${D}$${G}$${60}$ cm${11}$ cm${8}$ cm${h}$${X}$

 Let ${X}$ be a point on ${A}{C}$ such that ${D}{X}\bot{A}{C}$ and ${E}{X}\bot{A}{C}$ . Let ${D}{X}$ be ${h}$ $\text{cm}$ . The required angle is $\angle{E}{X}{D}$ . Consider $\triangle{D}{A}{C}$ , $\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{C}\right)}{\left({h}\right)}$ $=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({11}\right)}{\left({60}\right)}$ area of triangle $\dfrac{{1}}{{2}}{\left(\sqrt{{{11}^{{2}}+{60}^{{2}}}}\right)}{\left({h}\right)}$ $=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({11}\right)}{\left({60}\right)}$ Pyth. theorem ${h}$ $=\dfrac{{660}}{{61}}$ Consider $\triangle{D}{E}{X}$ , ${\tan{\theta}}$ $=\dfrac{{8}}{{\dfrac{{660}}{{61}}}}$ ${\tan{\theta}}=\dfrac{{{E}{D}}}{{{D}{X}}}$ ${\tan{\theta}}$ $=\dfrac{{122}}{{165}}$

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