### Examine the coefficients of equations of two straight lines

Question Sample Titled 'Examine the coefficients of equations of two straight lines'

In the figure, the equations of the straight lines ${L}_{{1}}$ and ${L}_{{2}}$ are ${a}{x}+{b}{y}={1}$ and ${c}{x}+{\left.{d}{y}\right.}=-{1}$ respectively. The two straight lines intersect at a point on the positive ${y}$-axis. Which of the following are true?

${x}$${y}$${L}_{{1}}$${L}_{{2}}$${O}$

 I. ${d}<{0}$ II. ${c}+{a}>{0}$ III. $\dfrac{{{c}+{a}}}{{{b}{c}-{a}{d}}}>{0}$

A
I and III only
B
III only
C
I, II and III
D
I and II only

 ${L}_{{2}}:{c}{x}+{\left.{d}{y}\right.}+{1}$ $={0}$ ${y}$-intercept of ${L}_{{2}}$ $=-\dfrac{{1}}{{d}}>{0}$ ∴  ${d}$ $<{0}$  ${L}_{{1}}:{a}{x}+{b}{y}-{1}$ $={0}$ ${x}$-intercept of ${L}_{{1}}$ $=-\dfrac{{-{1}}}{{a}}=\dfrac{{1}}{{a}}>{0}$ ${a}$ $>{0}$ ${x}$-intercept of ${L}_{{2}}$ $=-\dfrac{{1}}{{c}}>{0}$ ∴  ${c}$ $<{0}$ ${x}$-intercept of ${L}_{{1}}$ $>{x}$-intercept of ${L}_{{2}}$ $\dfrac{{1}}{{a}}$ $>-\dfrac{{1}}{{c}}$ ${c}$ $<-{a}$ ${c}+{a}$ $<{0}$  From ${L}_{{1}}:{x}$ $=\dfrac{{{1}-{b}{y}}}{{a}}$ $\ldots{\left({1}\right)}$ Put ${\left({1}\right)}$ into the equation of ${L}_{{2}}:$ $\dfrac{{{c}{\left({1}-{b}{y}\right)}}}{{a}}+{\left.{d}{y}\right.}$ $=-{1}$ ${c}-{b}{c}{y}+{a}{\left.{d}{y}\right.}$ $=-{a}$ ${y}$ $=\dfrac{{{c}+{a}}}{{{b}{c}-{a}{d}}}$ ∵   The ${y}$-coordinate of the point of intersection is positive. ∴  $\dfrac{{{c}+{a}}}{{{b}{c}-{a}{d}}}>{0}$

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