Equations of circle and straight line, mid-point of intersections

Question Sample Titled 'Equations of circle and straight line, mid-point of intersections'

題目

The coordinates of the centre of the circle X{X} are (9,3){\left({9},{3}\right)} . It is given that the x{x}-axis is a tangent to X{X} .

(a)Find the equation of X{X} .(2 marks)
(b)The slope and the y{y}-intercept of the straight line L{L} is 4-{4} and h{h} respectively. If L{L} cuts X{X} at T{T} and G{G} , express the coordinates of the mid-point of TG{T}{G} in terms of h{h} . (5 marks)

題解

(a)Note that the radius of X{X} is 3{3} .1Mcan be absorbed
Thus, the equation of X{X} is (x9)2+(y3)2=32{\left({x}-{9}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{3}\right)}^{{2}}={3}^{{2}} .1Aor equivalent
(b)The equation of L{L} is y=4x+h{y}=-{4}{x}+{h} .1M
Putting the equation of L{L} into the equation of X{X}, which can be rewritten as
x2+y218x6y+81=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{18}{x}-{6}{y}+{81}={0} ,
we have x2+(4x+h)218x6(4x+h)+81{x}^{{2}}+{\left(-{4}{x}+{h}\right)}^{{2}}-{18}{x}-{6}{\left(-{4}{x}+{h}\right)}+{81}=0={0} .1M
So, we have 17x2+(68h)x+(h26h+81){17}{x}^{{2}}+{\left({6}-{8}{h}\right)}{x}+{\left({h}^{{2}}-{6}{h}+{81}\right)}=0={0} .
The x{x}-coordinate of the mid-point of TG{T}{G}
=(68h)172=\dfrac{{\dfrac{{-{\left({6}-{8}{h}\right)}}}{{17}}}}{{2}}sum of roots1M
=3+4h17=\dfrac{{-{3}+{4}{h}}}{{17}}1A
The y{y}-coordinate of the mid-point of TG{T}{G}
=4(3+4h17)+h=-{4}{\left(\dfrac{{-{3}+{4}{h}}}{{17}}\right)}+{h}
=12+h17=\dfrac{{{12}+{h}}}{{17}}
Thus, the required coordinates are (3+4h17,12+h17){\left(\dfrac{{-{3}+{4}{h}}}{{17}},\dfrac{{{12}+{h}}}{{17}}\right)} .1Af.t.



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