Equations of circle and straight line, mid-point of intersections

Question Sample Titled 'Equations of circle and straight line, mid-point of intersections'

題目

The coordinates of the centre of the circle ${X}$ are ${\left({9},{3}\right)}$ . It is given that the ${x}$ -axis is a tangent to ${X}$ .

(a)	Find the equation of ${X}$ .								(2 marks)
(b)	The slope and the ${y}$ -intercept of the straight line ${L}$ is $-{4}$ and ${h}$ respectively. If ${L}$ cuts ${X}$ at ${T}$ and ${G}$ , express the coordinates of the mid-point of ${T}{G}$ in terms of ${h}$ .								(5 marks)

題解

(a)	Note that the radius of ${X}$ is ${3}$ .			1M	can be absorbed
	Thus, the equation of ${X}$ is ${\left({x}-{9}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{3}\right)}^{{2}}={3}^{{2}}$ .			1A	or equivalent
(b)	The equation of ${L}$ is ${y}=-{4}{x}+{h}$ .			1M
	Putting the equation of ${L}$ into the equation of ${X}$ , which can be rewritten as
	${x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{18}{x}-{6}{y}+{81}={0}$ ,
	we have ${x}^{{2}}+{\left(-{4}{x}+{h}\right)}^{{2}}-{18}{x}-{6}{\left(-{4}{x}+{h}\right)}+{81}$	$={0}$ .		1M
	So, we have ${17}{x}^{{2}}+{\left({6}-{8}{h}\right)}{x}+{\left({h}^{{2}}-{6}{h}+{81}\right)}$	$={0}$ .
	The ${x}$ -coordinate of the mid-point of ${T}{G}$
	$=\dfrac{{\dfrac{{-{\left({6}-{8}{h}\right)}}}{{17}}}}{{2}}$		sum of roots	1M
	$=\dfrac{{-{3}+{4}{h}}}{{17}}$			1A
	The ${y}$ -coordinate of the mid-point of ${T}{G}$
	$=-{4}{\left(\dfrac{{-{3}+{4}{h}}}{{17}}\right)}+{h}$
	$=\dfrac{{{12}+{h}}}{{17}}$
	Thus, the required coordinates are ${\left(\dfrac{{-{3}+{4}{h}}}{{17}},\dfrac{{{12}+{h}}}{{17}}\right)}$ .			1A	f.t.

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