equation of st. lines and circle

Question Sample Titled 'equation of st. lines and circle'

題目

The equation of the straight line L1{L}_{{1}} is x+4y=0{x}+{4}{y}={0}. L2{L}_{{2}} is another straight line passing through point A(9,3){A}{\left(-{9},{3}\right)} and perpendicular to L1{L}_{{1}}.

(a)Find the equation of L2{L}_{{2}}.(2 marks)
(b)Suppose that G{G} is a point lying on L2{L}_{{2}}. Denote the y{y}-coordinate of G{G} by k{k}, where k3{k}\ne{3}. Let C{C} be the circle passing through A{A} with centre G{G}.(4 marks)
Prove that the equation of C{C} is 2x2+2y2+(39k)x4ky+3k+171=0{2}{x}^{{2}}+{2}{y}^{{2}}+{\left({39}-{k}\right)}{x}-{4}{k}{y}+{3}{k}+{171}={0}.
(c)The coordinates of the point B{B} are (1,1). Using (b), or therwise, find the radius of the circle which passes through A{A} and B{B} with centre G{G}.(3 marks)

題解

(a)Slope of L1{L}_{{1}}=14=-\dfrac{{1}}{{4}}
∵  L1L2.{L}_{{1}}\bot{L}_{{2}}.
∴   Slope of L2=(14)1{L}_{{2}}=-{\left(-\dfrac{{1}}{{4}}\right)}^{{-{{1}}}}1M
=4={4}
Equation of L2:{L}_{{2}}:
y3x(9)\dfrac{{{y}-{3}}}{{{x}-{\left(-{9}\right)}}}=4={4}
y3{y}-{3}=4x+36={4}{x}+{36}
4xy+39{4}{x}-{y}+{39}=0={0}1A
(b)Sub. y=k{y}={k} into the equation of L2{L}_{{2}}, we have
x{x}=k394=\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}}1M
Thus, G=(k394,k){G}={\left(\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}},{k}\right)}
Radius of C{C}=(k394(9))2+(k3)2=\sqrt{{{\left(\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}}-{\left(-{9}\right)}\right)}^{{2}}+{\left({k}-{3}\right)}^{{2}}}}1M
=(k34)2+(4(k3)4)2=\sqrt{{{\left(\dfrac{{{k}-{3}}}{{4}}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{{4}{\left({k}-{3}\right)}}}{{4}}\right)}^{{2}}}}
=14(k3)2+16(k3)2=\dfrac{{1}}{{4}}\sqrt{{{\left({k}-{3}\right)}^{{2}}+{16}{\left({k}-{3}\right)}^{{2}}}}
=±174(k3)=\pm\dfrac{{\sqrt{{{17}}}}}{{4}}{\left({k}-{3}\right)}

Equation of C:{C}:
(xk394)2+(yk)2{\left({x}-\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{k}\right)}^{{2}}=(±174(k3))2={\left(\pm\dfrac{{\sqrt{{{17}}}}}{{4}}{\left({k}-{3}\right)}\right)}^{{2}}1M
x22x(k394)+(k394)2+y22ky+k2{x}^{{2}}-{2}{x}{\left(\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}}\right)}+{\left(\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}}\right)}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{k}{y}+{k}^{{2}}=1716(k3)2=\dfrac{{17}}{{16}}{\left({k}-{3}\right)}^{{2}}1M
x2+y2+(39k2)x+k278k+392162ky+k21716(k3)2{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{\left(\dfrac{{{39}-{k}}}{{2}}\right)}{x}+\dfrac{{{k}^{{2}}-{78}{k}+{39}^{{2}}}}{{16}}-{2}{k}{y}+{k}^{{2}}-\dfrac{{17}}{{16}}{\left({k}-{3}\right)}^{{2}}=0={0}
x2+y2+(39k2)x2ky+17k278k+3921617k2102k+15316{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{\left(\dfrac{{{39}-{k}}}{{2}}\right)}{x}-{2}{k}{y}+\dfrac{{{17}{k}^{{2}}-{78}{k}+{39}^{{2}}}}{{16}}-\dfrac{{{17}{k}^{{2}}-{102}{k}+{153}}}{{16}}=0={0}
x2+y2+(39k2)x2ky+24k+136816{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{\left(\dfrac{{{39}-{k}}}{{2}}\right)}{x}-{2}{k}{y}+\dfrac{{{24}{k}+{1368}}}{{16}}=0={0}
x2+y2+(39k2)x2ky+3k+1712{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{\left(\dfrac{{{39}-{k}}}{{2}}\right)}{x}-{2}{k}{y}+\dfrac{{{3}{k}+{171}}}{{2}}=0={0}
2x2+2y2+(39k)x4ky+3k+171{2}{x}^{{2}}+{2}{y}^{{2}}+{\left({39}-{k}\right)}{x}-{4}{k}{y}+{3}{k}+{171}=0={0}

(c)Sub. (1,1){\left({1},{1}\right)} into the equation of C{C},
2+2+39k4k+3k+171{2}+{2}+{39}-{k}-{4}{k}+{3}{k}+{171}=0={0}
214{214}=2k={2}{k}
k{k}=107={107}1A
∵   Radius of C{C}=±174(k3)=\pm\dfrac{{\sqrt{{{17}}}}}{{4}}{\left({k}-{3}\right)}
Thus, Radius of C{C}=174(1073)=\dfrac{{\sqrt{{{17}}}}}{{4}}{\left({107}-{3}\right)}
=2617={26}\sqrt{{{17}}} units\text{units}



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