equation of st. lines and circle

Question Sample Titled 'equation of st. lines and circle'

題目

The equation of the straight line ${L}_{{1}}$ is ${x}+{4}{y}={0}$ . ${L}_{{2}}$ is another straight line passing through point ${A}{\left(-{9},{3}\right)}$ and perpendicular to ${L}_{{1}}$ .

(a)	Find the equation of ${L}_{{2}}$ .	(2 marks)
(b)	Suppose that ${G}$ is a point lying on ${L}_{{2}}$ . Denote the ${y}$ -coordinate of ${G}$ by ${k}$ , where ${k}\ne{3}$ . Let ${C}$ be the circle passing through ${A}$ with centre ${G}$ .	(4 marks)
	Prove that the equation of ${C}$ is ${2}{x}^{{2}}+{2}{y}^{{2}}+{\left({39}-{k}\right)}{x}-{4}{k}{y}+{3}{k}+{171}={0}$ .
(c)	The coordinates of the point ${B}$ are (1,1). Using (b), or therwise, find the radius of the circle which passes through ${A}$ and ${B}$ with centre ${G}$ .	(3 marks)

題解

(a)	Slope of ${L}_{{1}}$	$=-\dfrac{{1}}{{4}}$
	∵ ${L}_{{1}}\bot{L}_{{2}}.$
	∴ Slope of ${L}_{{2}}=-{\left(-\dfrac{{1}}{{4}}\right)}^{{-{{1}}}}$		1M
		$={4}$
	Equation of ${L}_{{2}}:$
	$\dfrac{{{y}-{3}}}{{{x}-{\left(-{9}\right)}}}$	$={4}$
	${y}-{3}$	$={4}{x}+{36}$
	${4}{x}-{y}+{39}$	$={0}$	1A

(b)	Sub. ${y}={k}$ into the equation of ${L}_{{2}}$ , we have
	${x}$	$=\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}}$	1M
	Thus, ${G}={\left(\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}},{k}\right)}$		1M
	Radius of ${C}$	$=\sqrt{{{\left(\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}}-{\left(-{9}\right)}\right)}^{{2}}+{\left({k}-{3}\right)}^{{2}}}}$	1M
		$=\sqrt{{{\left(\dfrac{{{k}-{3}}}{{4}}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{{4}{\left({k}-{3}\right)}}}{{4}}\right)}^{{2}}}}$
		$=\dfrac{{1}}{{4}}\sqrt{{{\left({k}-{3}\right)}^{{2}}+{16}{\left({k}-{3}\right)}^{{2}}}}$
		$=\pm\dfrac{{\sqrt{{{17}}}}}{{4}}{\left({k}-{3}\right)}$

Equation of ${C}:$
${\left({x}-\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{k}\right)}^{{2}}$	$={\left(\pm\dfrac{{\sqrt{{{17}}}}}{{4}}{\left({k}-{3}\right)}\right)}^{{2}}$	1M
${x}^{{2}}-{2}{x}{\left(\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}}\right)}+{\left(\dfrac{{{k}-{39}}}{{4}}\right)}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{k}{y}+{k}^{{2}}$	$=\dfrac{{17}}{{16}}{\left({k}-{3}\right)}^{{2}}$	1M
${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{\left(\dfrac{{{39}-{k}}}{{2}}\right)}{x}+\dfrac{{{k}^{{2}}-{78}{k}+{39}^{{2}}}}{{16}}-{2}{k}{y}+{k}^{{2}}-\dfrac{{17}}{{16}}{\left({k}-{3}\right)}^{{2}}$	$={0}$
${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{\left(\dfrac{{{39}-{k}}}{{2}}\right)}{x}-{2}{k}{y}+\dfrac{{{17}{k}^{{2}}-{78}{k}+{39}^{{2}}}}{{16}}-\dfrac{{{17}{k}^{{2}}-{102}{k}+{153}}}{{16}}$	$={0}$
${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{\left(\dfrac{{{39}-{k}}}{{2}}\right)}{x}-{2}{k}{y}+\dfrac{{{24}{k}+{1368}}}{{16}}$	$={0}$
${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{\left(\dfrac{{{39}-{k}}}{{2}}\right)}{x}-{2}{k}{y}+\dfrac{{{3}{k}+{171}}}{{2}}$	$={0}$
${2}{x}^{{2}}+{2}{y}^{{2}}+{\left({39}-{k}\right)}{x}-{4}{k}{y}+{3}{k}+{171}$	$={0}$

(c)	Sub. ${\left({1},{1}\right)}$ into the equation of ${C}$ ,
	${2}+{2}+{39}-{k}-{4}{k}+{3}{k}+{171}$	$={0}$
	${214}$	$={2}{k}$
	${k}$	$={107}$	1A
	∵ Radius of ${C}$	$=\pm\dfrac{{\sqrt{{{17}}}}}{{4}}{\left({k}-{3}\right)}$
	Thus, Radius of ${C}$	$=\dfrac{{\sqrt{{{17}}}}}{{4}}{\left({107}-{3}\right)}$
		$={26}\sqrt{{{17}}}$ $\text{units}$

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