### Equation of circle; tangents

Question Sample Titled 'Equation of circle; tangents'

In the figure, ${O}{A}$, ${O}{B}$ and ${A}{B}$ are the tangents to the circle at ${C}$, ${D}$ and ${E}$ respectively. The coordinates of ${A}$ and ${B}$ are ${\left({8},{0}\right)}$ and ${\left({2},{2}\sqrt{{{3}}}\right)}$ respectively.

${x}$${y}$${O}$${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$

 (a) Find the slope of ${O}{B}$. (1 mark) (b) Find the coordinates of ${C}$. (3 marks) (c) Find the equation of the circle in general form. (3 marks)

 (a) Slope of ${O}{B}$ $=\dfrac{{{2}\sqrt{{{3}}}}}{{2}}$  $=\sqrt{{{3}}}$ 1A  (b) ${O}{A}$ $={8}$ ${O}{B}$ $=\sqrt{{{\left({2}-{0}\right)}^{{2}}+{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{0}\right)}^{{2}}}}$  $={4}$ ${A}{B}$ $=\sqrt{{{\left({2}-{8}\right)}^{{2}}+{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{0}\right)}^{{2}}}}$  $={4}\sqrt{{{3}}}$ By tangent properties, ${O}{C}$ $={O}{D}$, ${B}{D}={B}{E}$ and ${A}{C}={A}{E}$. 1M ${O}{D}+{B}{D}$ $={O}{B}$ ${O}{C}+{\left({A}{B}-{A}{C}\right)}$ $={O}{B}$ ${O}{C}+{\left({A}{B}-{\left({O}{A}-{O}{C}\right)}\right)}$ $={O}{B}$ 1M ${2}{\left({O}{C}\right)}$ $={O}{B}+{O}{A}-{A}{B}$  $={4}+{8}-{4}\sqrt{{{3}}}$ ${O}{C}$ $={6}-{2}\sqrt{{{3}}}$ $\therefore{C}$ $={\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}},{0}\right)}$ 1A  (c) Let ${G}$ be the centre of the circle. ${C}{G}\bot{O}{A}$ tangent ⊥ radius The inclination of ${O}{B}$ $={{\tan}^{{-{1}}}\sqrt{{{3}}}}$  $={60}^{\circ}$ 1M $\therefore\angle{C}{O}{G}$ $=\dfrac{{60}^{\circ}}{{2}}$ tangent properties  $={30}^{\circ}$ $\therefore\dfrac{{{C}{G}}}{{{O}{C}}}$ $={{\tan{{30}}}^{\circ}}$ ${C}{G}$ $=\dfrac{{1}}{{\sqrt{{{3}}}}}\times{\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}}\right)}$  $={2}\sqrt{{{3}}}-{2}$ $\therefore{G}$ $={\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}},{2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}$ 1A Radius $={C}{G}$  $={2}\sqrt{{{3}}}-{2}$

 Equation of circle: ${\left({x}-{\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}}\right)}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}\right)}^{{2}}$ $={\left({2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}^{{2}}$ ${x}^{{2}}-{2}{x}{\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}}\right)}+{\left({36}-{24}\sqrt{{{3}}}+{12}\right)}+{y}^{{2}}-{2}{y}{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}+{\left({12}-{8}\sqrt{{{3}}}+{4}\right)}$ $={12}-{8}\sqrt{{{3}}}+{4}$ ${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{\left({4}\sqrt{{{3}}}-{12}\right)}{x}+{\left({4}-{4}\sqrt{{{3}}}\right)}{y}+{48}-{24}\sqrt{{{3}}}$ $={0}$ 1A

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