Equation of circle; tangents

Question Sample Titled 'Equation of circle; tangents'

題目

In the figure, OA{O}{A}, OB{O}{B} and AB{A}{B} are the tangents to the circle at C{C}, D{D} and E{E} respectively. The coordinates of A{A} and B{B} are (8,0){\left({8},{0}\right)} and (2,23){\left({2},{2}\sqrt{{{3}}}\right)} respectively.

x{x}y{y}O{O}A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}

(a)Find the slope of OB{O}{B}.(1 mark)
(b)Find the coordinates of C{C}.(3 marks)
(c)Find the equation of the circle in general form.(3 marks)

題解

(a)Slope of OB{O}{B}=232=\dfrac{{{2}\sqrt{{{3}}}}}{{2}}
=3=\sqrt{{{3}}}1A
(b)OA{O}{A}=8={8}
OB{O}{B}=(20)2+(230)2=\sqrt{{{\left({2}-{0}\right)}^{{2}}+{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{0}\right)}^{{2}}}}
=4={4}
AB{A}{B}=(28)2+(230)2=\sqrt{{{\left({2}-{8}\right)}^{{2}}+{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{0}\right)}^{{2}}}}
=43={4}\sqrt{{{3}}}
By tangent properties,
OC{O}{C}=OD={O}{D}, BD=BE{B}{D}={B}{E} and AC=AE{A}{C}={A}{E}.1M
OD+BD{O}{D}+{B}{D}=OB={O}{B}
OC+(ABAC){O}{C}+{\left({A}{B}-{A}{C}\right)}=OB={O}{B}
OC+(AB(OAOC)){O}{C}+{\left({A}{B}-{\left({O}{A}-{O}{C}\right)}\right)}=OB={O}{B}1M
2(OC){2}{\left({O}{C}\right)}=OB+OAAB={O}{B}+{O}{A}-{A}{B}
=4+843={4}+{8}-{4}\sqrt{{{3}}}
OC{O}{C}=623={6}-{2}\sqrt{{{3}}}
C\therefore{C}=(623,0)={\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}},{0}\right)}1A
(c)Let G{G} be the centre of the circle.
CGOA{C}{G}\bot{O}{A}tangent ⊥ radius
The inclination of OB{O}{B}=tan13={{\tan}^{{-{1}}}\sqrt{{{3}}}}
=60={60}^{\circ}1M
COG\therefore\angle{C}{O}{G}=602=\dfrac{{60}^{\circ}}{{2}}tangent properties
=30={30}^{\circ}
CGOC\therefore\dfrac{{{C}{G}}}{{{O}{C}}}=tan30={{\tan{{30}}}^{\circ}}
CG{C}{G}=13×(623)=\dfrac{{1}}{{\sqrt{{{3}}}}}\times{\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}}\right)}
=232={2}\sqrt{{{3}}}-{2}
G\therefore{G}=(623,232)={\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}},{2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}1A
Radius=CG={C}{G}
=232={2}\sqrt{{{3}}}-{2}

Equation of circle:
(x(623))2+(y(232))2{\left({x}-{\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}}\right)}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}\right)}^{{2}}=(232)2={\left({2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}^{{2}}
x22x(623)+(36243+12)+y22y(232)+(1283+4){x}^{{2}}-{2}{x}{\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}}\right)}+{\left({36}-{24}\sqrt{{{3}}}+{12}\right)}+{y}^{{2}}-{2}{y}{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}+{\left({12}-{8}\sqrt{{{3}}}+{4}\right)}=1283+4={12}-{8}\sqrt{{{3}}}+{4}
x2+y2+(4312)x+(443)y+48243{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{\left({4}\sqrt{{{3}}}-{12}\right)}{x}+{\left({4}-{4}\sqrt{{{3}}}\right)}{y}+{48}-{24}\sqrt{{{3}}}=0={0}1A



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