Equation of circle; tangents

Question Sample Titled 'Equation of circle; tangents'

題目

In the figure, ${O}{A}$ , ${O}{B}$ and ${A}{B}$ are the tangents to the circle at ${C}$ , ${D}$ and ${E}$ respectively. The coordinates of ${A}$ and ${B}$ are ${\left({8},{0}\right)}$ and ${\left({2},{2}\sqrt{{{3}}}\right)}$ respectively.

{x}

{y}

{O}

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

(a)	Find the slope of ${O}{B}$ .	(1 mark)
(b)	Find the coordinates of ${C}$ .	(3 marks)
(c)	Find the equation of the circle in general form.	(3 marks)

題解

(a)	Slope of ${O}{B}$	$=\dfrac{{{2}\sqrt{{{3}}}}}{{2}}$
		$=\sqrt{{{3}}}$		1A

(b)	${O}{A}$	$={8}$
	${O}{B}$	$=\sqrt{{{\left({2}-{0}\right)}^{{2}}+{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{0}\right)}^{{2}}}}$
		$={4}$
	${A}{B}$	$=\sqrt{{{\left({2}-{8}\right)}^{{2}}+{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{0}\right)}^{{2}}}}$
		$={4}\sqrt{{{3}}}$
	By tangent properties,
	${O}{C}$	$={O}{D}$ , ${B}{D}={B}{E}$ and ${A}{C}={A}{E}$ .		1M
	${O}{D}+{B}{D}$	$={O}{B}$
	${O}{C}+{\left({A}{B}-{A}{C}\right)}$	$={O}{B}$
	${O}{C}+{\left({A}{B}-{\left({O}{A}-{O}{C}\right)}\right)}$	$={O}{B}$		1M
	${2}{\left({O}{C}\right)}$	$={O}{B}+{O}{A}-{A}{B}$
		$={4}+{8}-{4}\sqrt{{{3}}}$
	${O}{C}$	$={6}-{2}\sqrt{{{3}}}$
	$\therefore{C}$	$={\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}},{0}\right)}$		1A

(c)	Let ${G}$ be the centre of the circle.
	${C}{G}\bot{O}{A}$		tangent ⊥ radius
	The inclination of ${O}{B}$	$={{\tan}^{{-{1}}}\sqrt{{{3}}}}$
		$={60}^{\circ}$		1M
	$\therefore\angle{C}{O}{G}$	$=\dfrac{{60}^{\circ}}{{2}}$	tangent properties
		$={30}^{\circ}$
	$\therefore\dfrac{{{C}{G}}}{{{O}{C}}}$	$={{\tan{{30}}}^{\circ}}$
	${C}{G}$	$=\dfrac{{1}}{{\sqrt{{{3}}}}}\times{\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}}\right)}$
		$={2}\sqrt{{{3}}}-{2}$
	$\therefore{G}$	$={\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}},{2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}$		1A
	Radius	$={C}{G}$
		$={2}\sqrt{{{3}}}-{2}$

Equation of circle:
${\left({x}-{\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}}\right)}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}\right)}^{{2}}$	$={\left({2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}^{{2}}$
${x}^{{2}}-{2}{x}{\left({6}-{2}\sqrt{{{3}}}\right)}+{\left({36}-{24}\sqrt{{{3}}}+{12}\right)}+{y}^{{2}}-{2}{y}{\left({2}\sqrt{{{3}}}-{2}\right)}+{\left({12}-{8}\sqrt{{{3}}}+{4}\right)}$	$={12}-{8}\sqrt{{{3}}}+{4}$
${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{\left({4}\sqrt{{{3}}}-{12}\right)}{x}+{\left({4}-{4}\sqrt{{{3}}}\right)}{y}+{48}-{24}\sqrt{{{3}}}$	$={0}$	1A

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