Equation of circle

Question Sample Titled 'Equation of circle'

題目

The coordinates of the points P{P} and Q{Q} are (6,5){\left({6},{5}\right)} and (14,1){\left({14},{1}\right)} respectively.

(a)It is given that L{L} is a line parallel to PQ{P}{Q} and passes through (6,1){\left(-{6},{1}\right)}.
(i)Find the equation of L{L} .
(ii)Suppose that G{G} is a point lying on L{L} . Denote the y{y}-coordinate of G{G} by k{k} . Let C{C} be the circle which is centred at G{G} and passes through P{P} . Prove that the equation of C{C} is
x2+y2+4(k+2)x2ky14k109=0.{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{4}{\left({k}+{2}\right)}{x}-{2}{k}{y}-{14}{k}-{109}={0}.
(6 marks)
(b)The coordinates of the point R{R} are (2,1){\left(-{2},{1}\right)} . Using (a)(ii) , or otherwise, find the diameter of the circle centred at G{G} which passes through P{P} and R{R} . (3 marks)

題解

(ai)Slope of PQ{P}{Q}=51614=\dfrac{{{5}-{1}}}{{{6}-{14}}}1M
=12=-\dfrac{{1}}{{2}}
Equation of L{L}:
y1x(6)\dfrac{{{y}-{1}}}{{{x}-{\left(-{6}\right)}}}=12=-\dfrac{{1}}{{2}}1M
x+2y+4{x}+{2}{y}+{4}=0={0}1A
(ii)∵  G{G} lies on L{L} ,
∴   The x{x}-coordinate of G{G} is 2k4.-{2}{k}-{4}.1A
Equation of C:{C}:
[x(2k4)]2+(yk)2=(2k46)2+(k5)2{\left[{x}-{\left(-{2}{k}-{4}\right)}\right]}^{{2}}+{\left({y}-{k}\right)}^{{2}}={\left(-{2}{k}-{4}-{6}\right)}^{{2}}+{\left({k}-{5}\right)}^{{2}}1M
Simplify, we have
x2+y2+4(k+2)x2ky14k109=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{4}{\left({k}+{2}\right)}{x}-{2}{k}{y}-{14}{k}-{109}={0}1A

(b)Sub. (2,1){\left(-{2},{1}\right)} into the equation of C{C} ,
(2)2+(1)2+4(k+2)(2)2k(1)14k109{\left(-{2}\right)}^{{2}}+{\left({1}\right)}^{{2}}+{4}{\left({k}+{2}\right)}{\left(-{2}\right)}-{2}{k}{\left({1}\right)}-{14}{k}-{109}=0={0}
24k-{24}{k}=120={120}
k{k}=5=-{5}1A
∴   The centre of the circle is (6,5).{\left({6},-{5}\right)}.1A
∵  P{P} and G{G} are lying on the same vertical line.
∴   The radius of the circle=5(5)=10={5}-{\left(-{5}\right)}={10}
∴   The diameter=20={20} units. 1A



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