Equation of circle

Question Sample Titled 'Equation of circle'

題目

The coordinates of the points ${P}$ and ${Q}$ are ${\left({6},{5}\right)}$ and ${\left({14},{1}\right)}$ respectively.

(a)	It is given that ${L}$ is a line parallel to ${P}{Q}$ and passes through ${\left(-{6},{1}\right)}$ .
	(i)	Find the equation of ${L}$ .
	(ii)	Suppose that ${G}$ is a point lying on ${L}$ . Denote the ${y}$ -coordinate of ${G}$ by ${k}$ . Let ${C}$ be the circle which is centred at ${G}$ and passes through ${P}$ . Prove that the equation of ${C}$ is
		${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{4}{\left({k}+{2}\right)}{x}-{2}{k}{y}-{14}{k}-{109}={0}.$
			(6 marks)
(b)	The coordinates of the point ${R}$ are ${\left(-{2},{1}\right)}$ . Using (a)(ii) , or otherwise, find the diameter of the circle centred at ${G}$ which passes through ${P}$ and ${R}$ .		(3 marks)

題解

(ai)	Slope of ${P}{Q}$	$=\dfrac{{{5}-{1}}}{{{6}-{14}}}$	1M
		$=-\dfrac{{1}}{{2}}$	1M
	Equation of ${L}$ :
	$\dfrac{{{y}-{1}}}{{{x}-{\left(-{6}\right)}}}$	$=-\dfrac{{1}}{{2}}$	1M
	${x}+{2}{y}+{4}$	$={0}$	1A

(ii)	∵ ${G}$ lies on ${L}$ ,
	∴ The ${x}$ -coordinate of ${G}$ is $-{2}{k}-{4}.$		1A
	Equation of ${C}:$
	${\left[{x}-{\left(-{2}{k}-{4}\right)}\right]}^{{2}}+{\left({y}-{k}\right)}^{{2}}={\left(-{2}{k}-{4}-{6}\right)}^{{2}}+{\left({k}-{5}\right)}^{{2}}$		1M
	Simplify, we have
	${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{4}{\left({k}+{2}\right)}{x}-{2}{k}{y}-{14}{k}-{109}={0}$		1A

(b)	Sub. ${\left(-{2},{1}\right)}$ into the equation of ${C}$ ,
	${\left(-{2}\right)}^{{2}}+{\left({1}\right)}^{{2}}+{4}{\left({k}+{2}\right)}{\left(-{2}\right)}-{2}{k}{\left({1}\right)}-{14}{k}-{109}$	$={0}$
	$-{24}{k}$	$={120}$
	${k}$	$=-{5}$	1A
	∴ The centre of the circle is ${\left({6},-{5}\right)}.$		1A


	∵ ${P}$ and ${G}$ are lying on the same vertical line.
	∴ The radius of the circle $={5}-{\left(-{5}\right)}={10}$
	∴ The diameter $={20}$ units.		1A

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