Effects of data change on measures of dispersion

Question Sample Titled 'Effects of data change on measures of dispersion'

題目

Let x1\overline{{x}}_{{1}} and σ1\sigma_{{1}} be the mean and the standard deviation of a group of numbers {a1,a2,a3,,a23}{\left\lbrace{a}_{{1}},{a}_{{2}},{a}_{{3}},\ldots,{a}_{{23}}\right\rbrace} respectively while x2\overline{{x}}_{{2}} and σ2\sigma_{{2}} be the mean and the standard deviation of a group of numbers {a1,a2,a3,,a22}{\left\lbrace{a}_{{1}},{a}_{{2}},{a}_{{3}},\ldots,{a}_{{22}}\right\rbrace} respectively. If σ10\sigma_{{1}}\ne{0} and a23=x1{a}_{{23}}=\overline{{x}}_{{1}} , which of the following must be true?

I.x1=x2\overline{{x}}_{{1}}=\overline{{x}}_{{2}}
II.σ1<σ2\sigma_{{1}}<\sigma_{{2}}
III.The standard score of a1{a}_{{1}} in the first set is the same as that in the second set.

A
I and II only
B
II and III only
C
I, II and III
D
I and III only
題解

x1\overline{{x}}_{{1}}=a1+a2+a3++a2323=\dfrac{{{a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{23}}}}{{23}}
a1+a2+a3++a23{a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{23}}=23x1={23}\overline{{x}}_{{1}}
a1+a2+a3++a22{a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{22}}=23x1a23={23}\overline{{x}}_{{1}}-{a}_{{23}}
=22x1={22}\overline{{x}}_{{1}}
x2\overline{{x}}_{{2}}=a1+a2+a3++a2222=\dfrac{{{a}_{{1}}+{a}_{{2}}+{a}_{{3}}+\ldots+{a}_{{22}}}}{{22}}
=22x122=\dfrac{{{22}\overline{{x}}_{{1}}}}{{22}}
=x1=\overline{{x}}_{{1}}
∴  x1\overline{{x}}_{{1}}=x2=\overline{{x}}_{{2}}

σ1\sigma_{{1}}=(a1x1)2+(a2x1)2++(a23x1)223=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left({a}_{{23}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{23}}}}}
=(a1x1)2+(a2x1)2++(x1x1)223=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left(\overline{{x}}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{23}}}}}
=(a1x1)2+(a2x1)2++(a22x1)223=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left({a}_{{22}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{23}}}}}
σ2\sigma_{{2}}=(a1x1)2+(a2x1)2++(a22x1)222=\sqrt{{\dfrac{{{\left({a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+{\left({a}_{{2}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left({a}_{{22}}-\overline{{x}}_{{1}}\right)}^{{2}}}}{{{22}}}}}
22σ2\sqrt{{22}}\sigma_{{2}}=23σ1=\sqrt{{23}}\sigma_{{1}}
σ1:σ2\sigma_{{1}}:\sigma_{{2}}=22:23=\sqrt{{22}}:\sqrt{{23}}
∴  σ1\sigma_{{1}}<σ2<\sigma_{{2}}

Let z1{z}_{{1}} and z2{z}_{{2}} be the standard score of a1{a}_{{1}} in the first set and the second set respectively.
z1{z}_{{1}}=a1x1σ1=\dfrac{{{a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}}}{\sigma_{{1}}}
z2{z}_{{2}}=a1x2σ2=\dfrac{{{a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{2}}}}{\sigma_{{2}}}
=a1x1σ2=\dfrac{{{a}_{{1}}-\overline{{x}}_{{1}}}}{\sigma_{{2}}}
σ2z2\sigma_{{2}}{z}_{{2}}=σ1z1=\sigma_{{1}}{z}_{{1}}
z1:z2{z}_{{1}}:{z}_{{2}}=σ2:σ1=\sigma_{{2}}:\sigma_{{1}}
∵  σ2\sigma_{{2}}>σ1>\sigma_{{1}}
∴  z1{z}_{{1}}>z2>{z}_{{2}}



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張載(北宋哲學家)