Dimensions of symmetrical pyramid

Question Sample Titled 'Dimensions of symmetrical pyramid'

題目

In figure (a), ATBCDT{A}{T}{B}{C}{D}{T}' is a hexagonal paper card. It is given that AT=DT=13{A}{T}={D}{T}'={13} cm\text{cm} and TB=TC=9{T}{B}={T}'{C}={9} cm\text{cm} . ABCD{A}{B}{C}{D} is a rectangle with AD=4{A}{D}={4} cm\text{cm} . Let ATB=θ\angle{A}{T}{B}=\theta , where 60θ85{60}^{\circ}\le\theta\le{85}^{\circ} .

Figure (a)Figure (b)A{A}B{B}C{C}D{D}T{T}T{T}'A{A}B{B}C{C}D{D}T{T}

(a)Suppose that θ=76\theta={76}^{\circ} .
(i)Find the length of AB{A}{B} .
(ii)Find the area of the paper card ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} .
(4 marks)
(b)Describe how the area of the paper card ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D} varies when θ\theta increases from 60{60}^{\circ} to 85{85}^{\circ} . Explain your answer. (3 marks)
(c)Suppose that θ=75\theta={75}^{\circ} . The paper card in figure (a) is folded along AB{A}{B} and CD{C}{D} such that T{T} and T{T}' join together to form a pyramid ABCDT{A}{B}{C}{D}{T} as shown in figure (b). Find the volume of the pyramid ABCDT{A}{B}{C}{D}{T} . (6 marks)

題解

(ai)AB2{A}{B}^{{2}}=AT2+TB22(AT)(TB)cosATB={A}{T}^{{2}}+{T}{B}^{{2}}-{2}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{\cos}\angle{A}{T}{B}
=132+922(13)(9)cos76={13}^{{2}}+{9}^{{2}}-{2}{\left({13}\right)}{\left({9}\right)}{{\cos{{76}}}^{\circ}}1M
=250234cos76={250}-{234}{{\cos{{76}}}^{\circ}}
AB{A}{B}=13.9={13.9} cm\text{cm} (cor. to 3 sig. fig.)1A
(aii)Note that ATB=DTC\triangle{A}{T}{B}\stackrel{\sim}{=}\triangle{D}{T}'{C} . SSS
Area of ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D}
=2×(={2}\times{(}Area ofATB)+(\triangle{A}{T}{B}{)}+{(} Area of ABCD){A}{B}{C}{D}{)}
=2×12(13)(9)sin76+(4)(13.906483251695152)={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({9}\right)}{{\sin{{76}}}^{\circ}+}{\left({4}\right)}{\left({13.906483251695152}\right)}1M
=169={169} cm2\text{cm}^{{2}} (cor. to 3 sig. fig.)1A
(b)Area of ATBCTD{A}{T}{B}{C}{T}'{D}
=2×12(13)(9)sinθ+(4)250234cosθ={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({9}\right)}{\sin{\theta}}+{\left({4}\right)}\sqrt{{{250}-{234}{\cos{\theta}}}}
=(117sinθ+4250234cosθ)={\left({117}{\sin{\theta}}+{4}\sqrt{{{250}-{234}{\cos{\theta}}}}\right)} cm2\text{cm}^{{2}}1M
For 60θ85{60}^{\circ}\le\theta\le{85}^{\circ} , as θ\theta increases, sinθ{\sin{\theta}} increases while cosθ{\cos{\theta}} decreases resulting that 250234cosθ\sqrt{{{250}-{234}{\cos{\theta}}}} increases. 1A
Thus, when θ\theta increases from 60{60}^{\circ} to 85{85}^{\circ} , the area of the paper card is increasing throughout the interval.1A
(c)Let E{E} and F{F} be the points on AB{A}{B} and CD{C}{D} respectively such that TEAB{T}{E}\bot{A}{B} and TFCD{T}{F}\bot{C}{D} .
Let M{M} be the mid-point of EF{E}{F} .
Note that TE{T}{E}=TF={T}{F} and TME=90\angle{T}{M}{E}={90}^{\circ} .prop. of isos. △
The height of the pyramid is TM{T}{M} .
AB{A}{B}=250234cos75=\sqrt{{{250}-{234}{\cos{{75}}}^{\circ}}}1A
Consider the area of ATB\triangle{A}{T}{B} ,
12(AB)(TE)\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{E}\right)}=12(AT)(TB)sin75=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{{\sin{{75}}}^{\circ}}1M
TE{T}{E}=117sin75250234cos75=\dfrac{{{117}{\sin{{75}}}^{\circ}}}{{\sqrt{{{250}-{234}{\cos{{75}}}^{\circ}}}}}
8.211036614361895\approx{8.211036614361895} cm\text{cm}1A
EM2+TM2{E}{M}^{{2}}+{T}{M}^{{2}}=TE2={T}{E}^{{2}}Pyth. theorem
TM{T}{M}8.211036614361895222\approx\sqrt{{{8.211036614361895}^{{2}}-{2}^{{2}}}}
7.963737959174175\approx{7.963737959174175} cm\text{cm}1A
Thus, required volume=13(AD)(AB)(TM)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({A}{D}\right)}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{M}\right)}1M
=13(4)(13.763587593574945)(7.963737959174175)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({4}\right)}{\left({13.763587593574945}\right)}{\left({7.963737959174175}\right)}
=146={146} cm3\text{cm}^{{3}} (cor. to 3 sig. fig.)1A



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