Dimensions of symmetrical pyramid

Question Sample Titled 'Dimensions of symmetrical pyramid'

題目

In figure (a), ${A}{T}{B}{C}{D}{T}'$ is a hexagonal paper card. It is given that ${A}{T}={D}{T}'={13}$ $\text{cm}$ and ${T}{B}={T}'{C}={9}$ $\text{cm}$ . ${A}{B}{C}{D}$ is a rectangle with ${A}{D}={4}$ $\text{cm}$ . Let $\angle{A}{T}{B}=\theta$ , where ${60}^{\circ}\le\theta\le{85}^{\circ}$ .

Figure (a)

Figure (b)

{A}

{B}

{C}

{D}

{T}

{T}'

{A}

{B}

{C}

{D}

{T}

(a)	Suppose that $\theta={76}^{\circ}$ .
	(i)	Find the length of ${A}{B}$ .
	(ii)	Find the area of the paper card ${A}{T}{B}{C}{T}'{D}$ .
			(4 marks)
(b)	Describe how the area of the paper card ${A}{T}{B}{C}{T}'{D}$ varies when $\theta$ increases from ${60}^{\circ}$ to ${85}^{\circ}$ . Explain your answer.		(3 marks)
(c)	Suppose that $\theta={75}^{\circ}$ . The paper card in figure (a) is folded along ${A}{B}$ and ${C}{D}$ such that ${T}$ and ${T}'$ join together to form a pyramid ${A}{B}{C}{D}{T}$ as shown in figure (b). Find the volume of the pyramid ${A}{B}{C}{D}{T}$ .		(6 marks)

題解

(ai)	${A}{B}^{{2}}$	$={A}{T}^{{2}}+{T}{B}^{{2}}-{2}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{\cos}\angle{A}{T}{B}$
		$={13}^{{2}}+{9}^{{2}}-{2}{\left({13}\right)}{\left({9}\right)}{{\cos{{76}}}^{\circ}}$		1M
		$={250}-{234}{{\cos{{76}}}^{\circ}}$
	${A}{B}$	$={13.9}$ $\text{cm}$ (cor. to 3 sig. fig.)		1A

(aii)	Note that $\triangle{A}{T}{B}\stackrel{\sim}{=}\triangle{D}{T}'{C}$ .		SSS
	Area of ${A}{T}{B}{C}{T}'{D}$
	$={2}\times{(}$ Area of $\triangle{A}{T}{B}{)}+{(}$ Area of ${A}{B}{C}{D}{)}$
	$={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({9}\right)}{{\sin{{76}}}^{\circ}+}{\left({4}\right)}{\left({13.906483251695152}\right)}$			1M
	$={169}$ $\text{cm}^{{2}}$ (cor. to 3 sig. fig.)			1A

(b)	Area of ${A}{T}{B}{C}{T}'{D}$
	$={2}\times\dfrac{{1}}{{2}}{\left({13}\right)}{\left({9}\right)}{\sin{\theta}}+{\left({4}\right)}\sqrt{{{250}-{234}{\cos{\theta}}}}$
	$={\left({117}{\sin{\theta}}+{4}\sqrt{{{250}-{234}{\cos{\theta}}}}\right)}$ $\text{cm}^{{2}}$			1M
	For ${60}^{\circ}\le\theta\le{85}^{\circ}$ , as $\theta$ increases, ${\sin{\theta}}$ increases while ${\cos{\theta}}$ decreases resulting that $\sqrt{{{250}-{234}{\cos{\theta}}}}$ increases.			1A
	Thus, when $\theta$ increases from ${60}^{\circ}$ to ${85}^{\circ}$ , the area of the paper card is increasing throughout the interval.			1A

(c)	Let ${E}$ and ${F}$ be the points on ${A}{B}$ and ${C}{D}$ respectively such that ${T}{E}\bot{A}{B}$ and ${T}{F}\bot{C}{D}$ .
	Let ${M}$ be the mid-point of ${E}{F}$ .
	Note that ${T}{E}$	$={T}{F}$ and $\angle{T}{M}{E}={90}^{\circ}$ .	prop. of isos. △
	The height of the pyramid is ${T}{M}$ .
	${A}{B}$	$=\sqrt{{{250}-{234}{\cos{{75}}}^{\circ}}}$		1A
	Consider the area of $\triangle{A}{T}{B}$ ,
	$\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{E}\right)}$	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({A}{T}\right)}{\left({T}{B}\right)}{{\sin{{75}}}^{\circ}}$		1M
	${T}{E}$	$=\dfrac{{{117}{\sin{{75}}}^{\circ}}}{{\sqrt{{{250}-{234}{\cos{{75}}}^{\circ}}}}}$
		$\approx{8.211036614361895}$ $\text{cm}$		1A
	${E}{M}^{{2}}+{T}{M}^{{2}}$	$={T}{E}^{{2}}$	Pyth. theorem
	${T}{M}$	$\approx\sqrt{{{8.211036614361895}^{{2}}-{2}^{{2}}}}$
		$\approx{7.963737959174175}$ $\text{cm}$		1A
	Thus, required volume	$=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({A}{D}\right)}{\left({A}{B}\right)}{\left({T}{M}\right)}$		1M
		$=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({4}\right)}{\left({13.763587593574945}\right)}{\left({7.963737959174175}\right)}$		1M
		$={146}$ $\text{cm}^{{3}}$ (cor. to 3 sig. fig.)		1A

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