Determine whether a point is outside a circle and the angle given an equation of circle

Question Sample Titled 'Determine whether a point is outside a circle and the angle given an equation of circle'

題目

The equation of the circle C{C} is 3x2+3y2+27x81y532=0{3}{x}^{{2}}+{3}{y}^{{2}}+{27}{x}-{81}{y}-\dfrac{{53}}{{2}}={0} . The coodinates of the points P{P} and Q{Q} are (20,4){\left(-{20},{4}\right)} and (4,10){\left({4},-{10}\right)} respectively. Which of the following is/are true?

I.The radius of C{C} is 43{43} .
II.The mid-point of PQ{P}{Q} lies outside C{C} .
III.If G{G} is the centre of C{C}, then PGQ\angle{P}{G}{Q} is an acute angle.

A
II and III only
B
III only
C
II only
D
I and III only
題解

I.3x2+3y2+27x81y532{3}{x}^{{2}}+{3}{y}^{{2}}+{27}{x}-{81}{y}-\dfrac{{53}}{{2}}=0={0}
x2+y2+9x27y536{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{9}{x}-{27}{y}-\dfrac{{53}}{{6}}=0={0}
Centre of C{C}=(92,272)=(92,272)={\left(\dfrac{{{9}}}{{-{{2}}}},\dfrac{{-{27}}}{{-{{2}}}}\right)}={\left(-\dfrac{{9}}{{2}},\dfrac{{27}}{{2}}\right)}
Radius of C{C}=(92)2+(272)2(536)=19023=\sqrt{{{\left(-\dfrac{{9}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{27}}{{2}}\right)}^{{2}}-{\left(-\dfrac{{53}}{{6}}\right)}}}=\dfrac{{\sqrt{{{1902}}}}}{{3}}
I is false.
II.Let M{M} be the mid-point of PQ{P}{Q} .
M{M}=(20+42,4102)=(8,3)={\left(\dfrac{{-{20}+{4}}}{{2}},\dfrac{{{4}-{10}}}{{2}}\right)}={\left(-{8},-{3}\right)}
Let G{G} be the centre of C{C} . G{G}=(92,272)={\left(-\dfrac{{9}}{{2}},\dfrac{{27}}{{2}}\right)} .
Compare the length of GM{G}{M} and the radius to determine whether M{M} lies inside or outside C{C} .
GM{G}{M}=(8+92)2+(3272)2=1138216.867=\sqrt{{{\left(-{8}+\dfrac{{9}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(-{3}-\dfrac{{27}}{{2}}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{\sqrt{{{1138}}}}}{{2}}\approx{16.867}
Radius =1902314.537=\dfrac{{\sqrt{{{1902}}}}}{{3}}\approx{14.537}
∴  M{M} lies outside C{C} .
II is true.
III.PQ{P}{Q}=(204)2+(4+10)2=2193=\sqrt{{{\left(-{20}-{4}\right)}^{{2}}+{\left({4}+{10}\right)}^{{2}}}}={2}\sqrt{{{193}}}
PG{P}{G}=(20+4.5)2+(413.5)2=13222=\sqrt{{{\left(-{20}+{4.5}\right)}^{{2}}+{\left({4}-{13.5}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{\sqrt{{{1322}}}}}{{2}}
QG{Q}{G}=(4+4.5)2+(1013.5)2=24982=\sqrt{{{\left({4}+{4.5}\right)}^{{2}}+{\left(-{10}-{13.5}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{{\sqrt{{{2498}}}}}{{2}}
cosPGQ{\cos}\angle{P}{G}{Q}=(PG)2+(QG)2(PQ)22PGQG=(13222)2+(24982)2(2193)2213222249820.201=\dfrac{{{\left({P}{G}\right)}^{{2}}+{\left({Q}{G}\right)}^{{2}}-{\left({P}{Q}\right)}^{{2}}}}{{{2}\cdot{P}{G}\cdot{Q}{G}}}=\dfrac{{{\left(\dfrac{{\sqrt{{{1322}}}}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{\sqrt{{{2498}}}}}{{2}}\right)}^{{2}}-{\left({2}\sqrt{{{193}}}\right)}^{{2}}}}{{{2}\cdot\dfrac{{\sqrt{{{1322}}}}}{{2}}\cdot\dfrac{{\sqrt{{{2498}}}}}{{2}}}}\approx{0.201}
PGQ\angle{P}{G}{Q}78.4\approx{78.4}^{\circ}
∴  PGQ\angle{P}{G}{Q} is an acute angle.
III is true.



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