Deduce the y-coordinate of circumcentre of a triangle involving completing square and quadratic function transformation

Question Sample Titled 'Deduce the y-coordinate of circumcentre of a triangle involving completing square and quadratic function transformation'

題目

Let ${f{{\left({x}\right)}}}={2}{x}^{{2}}-{4}{k}{x}+{6}{k}^{{2}}+{4}$ , where ${k}$ is a real constant.

(a)	Does the graph of ${y}={f{{\left({x}\right)}}}$ cut the ${x}$ -axis? Explain your answer.	(2 marks)
(b)	Using the method of completing the square, express, in terms of ${k}$ , the coordinates of the vertex of the graph of ${y}={f{{\left({x}\right)}}}$ .	(3 marks)
(c)	In the same rectangular coordinate system, let ${S}$ and ${T}$ be moving points on the graph of ${y}={f{{\left({x}\right)}}}$ and the graph of ${y}={3}-{f{{\left({x}\right)}}}$ respectively. Denote the origin by ${O}$ . Someone claims that when ${S}$ and ${T}$ are nearest to each other, the circumcentre of $\triangle{O}{S}{T}$ lies on the ${x}$ -axis. Is the claim correct? Explain your answer.	(4 marks)

題解

(a)	Discriminant ${\left(\Delta\right)}$ of ${f{{\left({x}\right)}}}$
	$={\left(-{4}{k}\right)}^{{2}}-{4}{\left({2}\right)}{\left({6}{k}^{{2}}+{4}\right)}$	1M
	$={16}{k}^{{2}}-{48}{k}^{{2}}-{32}$
	$=-{32}{k}^{{2}}-{32}$		accepts $-{32}{\left({k}^{{2}}+{1}\right)}$
	$\lt{0}$
	Thus, the graph of ${y}={f{{\left({x}\right)}}}$ does not cut the ${x}$ -axis.	1A	f.t.
(b)	${f{{\left({x}\right)}}}$
	$={2}{x}^{{2}}-{4}{k}{x}+{6}{k}^{{2}}+{4}$
	$={2}{\left({x}^{{2}}-{2}{k}{x}\right)}+{6}{k}^{{2}}+{4}$
	$={2}{\left({x}^{{2}}-{2}{k}{x}+{k}^{{2}}-{k}^{{2}}\right)}+{6}{k}^{{2}}+{4}$	1M	for completing the perfect square
	$={2}{\left({x}-{k}\right)}^{{2}}+{4}{k}^{{2}}+{4}$	1A
	Thus, the coordinates of the vertex are ${\left({k},{4}{k}^{{2}}+{4}\right)}$ .	1M
(c)	By (b), the coordinates of the vertex of the graph of ${y}=-{f{{\left({x}\right)}}}$ are ${\left({k},-{4}{k}^{{2}}-{4}\right)}$ .
	So, the coordinates of the vertex of the graph of ${y}={3}-{f{{\left({x}\right)}}}$ are ${\left({k},-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)}$ .	1M
	When ${S}$ and ${T}$ are nearest to each other, the coordinates of ${S}$ and ${T}$ are ${\left({k},{4}{k}^{{2}}+{4}\right)}$ and ${\left({k},-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)}$ respectively.
	Notice that ${S}{T}$ is a vertical line.	1M
	So, the perpendicular bisector of ${S}{T}$ is a horizontal line.
	The ${y}$ -coordinate of the circumcentre of $\triangle{O}{S}{T}$
	$=\dfrac{{{\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}+{\left(-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)}}}{{2}}$	1M
	$=\dfrac{{3}}{{2}}$
	$\ne{0}$
	Therefore, the circumcentre of $\triangle{O}{S}{T}$ does not lie on the ${x}$ -axis.
	Thus, the claim is incorrect.	1A	f.t.
	Refer to the figure below, which shows one possible situation.

{x}

{y}

{S}{\left({k},{4}{k}^{{2}}+{4}\right)}

{T}{\left({k},-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)}

{y}={f{{\left({x}\right)}}}

{y}={3}-{f{{\left({x}\right)}}}

其他方法

(c)	Assume that when ${S}$ and ${T}$ are nearest to each other, the circumcentre of $\triangle{O}{S}{T}$ lies on the ${x}$ -axis.
	The coordinates of ${S}$ and ${T}$ are ${\left({k},{4}{k}^{{2}}+{4}\right)}$ and ${\left({k},-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)}$ respectively.			1M
	Let ${\left({c},{0}\right)}$ be the coordinates of the circumcentre ${R}$ of $\triangle{O}{S}{T}$ .
	${R}{S}$			1M	either one
	$=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({0}-{\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}\right)}^{{2}}}}$
	$=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}}}$
	${R}{T}$
	$=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({0}-{\left(-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)}\right)}^{{2}}}}$
	$=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({4}{k}^{{2}}+{1}\right)}^{{2}}}}$
	So, solving for ${k}$ ,
	${R}{S}$	$={R}{T}$
	$\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}}}$	$=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({4}{k}^{{2}}+{1}\right)}^{{2}}}}$
	${\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}$	$={\left({4}{k}^{{2}}+{1}\right)}^{{2}}$
	${\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}-{\left({4}{k}^{{2}}+{1}\right)}^{{2}}$	$={0}$
	${\left({8}{k}^{{2}}+{5}\right)}{\left({3}\right)}$	$={0}$
	${k}^{{2}}$	$=-\dfrac{{5}}{{8}}$	Contradiction
	Since ${k}$ is a real constants, ${R}{S}\ne{R}{T}$ .			1M
	Therefore, the circumcentre of $\triangle{O}{S}{T}$ is not possible to be on the ${x}$ -axis.
	Thus, the claim is incorrect.			1A	f.t.

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