Deduce the y-coordinate of circumcentre of a triangle involving completing square and quadratic function transformation

Question Sample Titled 'Deduce the y-coordinate of circumcentre of a triangle involving completing square and quadratic function transformation'

題目

Let f(x)=2x24kx+6k2+4{f{{\left({x}\right)}}}={2}{x}^{{2}}-{4}{k}{x}+{6}{k}^{{2}}+{4} , where k{k} is a real constant.

(a)Does the graph of y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}} cut the x{x}-axis? Explain your answer.(2 marks)
(b)Using the method of completing the square, express, in terms of k{k} , the coordinates of the vertex of the graph of y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}} .(3 marks)
(c)In the same rectangular coordinate system, let S{S} and T{T} be moving points on the graph of y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}} and the graph of y=3f(x){y}={3}-{f{{\left({x}\right)}}} respectively. Denote the origin by O{O} . Someone claims that when S{S} and T{T} are nearest to each other, the circumcentre of OST\triangle{O}{S}{T} lies on the x{x}-axis. Is the claim correct? Explain your answer.(4 marks)

題解

(a)Discriminant (Δ){\left(\Delta\right)} of f(x){f{{\left({x}\right)}}}
=(4k)24(2)(6k2+4)={\left(-{4}{k}\right)}^{{2}}-{4}{\left({2}\right)}{\left({6}{k}^{{2}}+{4}\right)}1M
=16k248k232={16}{k}^{{2}}-{48}{k}^{{2}}-{32}
=32k232=-{32}{k}^{{2}}-{32}accepts 32(k2+1)-{32}{\left({k}^{{2}}+{1}\right)}
<0\lt{0}
Thus, the graph of y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}} does not cut the x{x}-axis.1Af.t.
(b)f(x){f{{\left({x}\right)}}}
=2x24kx+6k2+4={2}{x}^{{2}}-{4}{k}{x}+{6}{k}^{{2}}+{4}
=2(x22kx)+6k2+4={2}{\left({x}^{{2}}-{2}{k}{x}\right)}+{6}{k}^{{2}}+{4}
=2(x22kx+k2k2)+6k2+4={2}{\left({x}^{{2}}-{2}{k}{x}+{k}^{{2}}-{k}^{{2}}\right)}+{6}{k}^{{2}}+{4}1Mfor completing the perfect square
=2(xk)2+4k2+4={2}{\left({x}-{k}\right)}^{{2}}+{4}{k}^{{2}}+{4}1A
Thus, the coordinates of the vertex are (k,4k2+4){\left({k},{4}{k}^{{2}}+{4}\right)} .1M
(c)By (b), the coordinates of the vertex of the graph of y=f(x){y}=-{f{{\left({x}\right)}}} are (k,4k24){\left({k},-{4}{k}^{{2}}-{4}\right)} .
So, the coordinates of the vertex of the graph of y=3f(x){y}={3}-{f{{\left({x}\right)}}} are (k,4k21){\left({k},-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)} .1M
When S{S} and T{T} are nearest to each other, the coordinates of S{S} and T{T} are (k,4k2+4){\left({k},{4}{k}^{{2}}+{4}\right)} and (k,4k21){\left({k},-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)} respectively.
Notice that ST{S}{T} is a vertical line.1M
So, the perpendicular bisector of ST{S}{T} is a horizontal line.
The y{y}-coordinate of the circumcentre of OST\triangle{O}{S}{T}
=(4k2+4)+(4k21)2=\dfrac{{{\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}+{\left(-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)}}}{{2}}1M
=32=\dfrac{{3}}{{2}}
0\ne{0}
Therefore, the circumcentre of OST\triangle{O}{S}{T} does not lie on the x{x}-axis.
Thus, the claim is incorrect.1Af.t.
Refer to the figure below, which shows one possible situation.

x{x}y{y}S(k,4k2+4){S}{\left({k},{4}{k}^{{2}}+{4}\right)}T(k,4k21){T}{\left({k},-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)}y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}}y=3f(x){y}={3}-{f{{\left({x}\right)}}}
其他方法

(c)Assume that when S{S} and T{T} are nearest to each other, the circumcentre of OST\triangle{O}{S}{T} lies on the x{x}-axis.
The coordinates of S{S} and T{T} are (k,4k2+4){\left({k},{4}{k}^{{2}}+{4}\right)} and (k,4k21){\left({k},-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)} respectively.1M
Let (c,0){\left({c},{0}\right)} be the coordinates of the circumcentre R{R} of OST\triangle{O}{S}{T} .
RS{R}{S}1Meither one
=(ck)2+(0(4k2+4))2=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({0}-{\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}\right)}^{{2}}}}
=(ck)2+(4k2+4)2=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}}}
RT{R}{T}
=(ck)2+(0(4k21))2=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({0}-{\left(-{4}{k}^{{2}}-{1}\right)}\right)}^{{2}}}}
=(ck)2+(4k2+1)2=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({4}{k}^{{2}}+{1}\right)}^{{2}}}}
So, solving for k{k} ,
RS{R}{S}=RT={R}{T}
(ck)2+(4k2+4)2\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}}}=(ck)2+(4k2+1)2=\sqrt{{{\left({c}-{k}\right)}^{{2}}+{\left({4}{k}^{{2}}+{1}\right)}^{{2}}}}
(4k2+4)2{\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}=(4k2+1)2={\left({4}{k}^{{2}}+{1}\right)}^{{2}}
(4k2+4)2(4k2+1)2{\left({4}{k}^{{2}}+{4}\right)}^{{2}}-{\left({4}{k}^{{2}}+{1}\right)}^{{2}}=0={0}
(8k2+5)(3){\left({8}{k}^{{2}}+{5}\right)}{\left({3}\right)}=0={0}
k2{k}^{{2}}=58=-\dfrac{{5}}{{8}}Contradiction
Since k{k} is a real constants, RSRT{R}{S}\ne{R}{T} .1M
Therefore, the circumcentre of OST\triangle{O}{S}{T} is not possible to be on the x{x}-axis.
Thus, the claim is incorrect.1Af.t.



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