Completing the square followed by translating vertically and reflecting along y-axis

Question Sample Titled 'Completing the square followed by translating vertically and reflecting along y-axis'

題目

Let ${f{{\left({x}\right)}}}=\dfrac{{1}}{{2}}{x}^{{2}}-{8}{x}+{43}$ .

(a)	Using the method of completing the square, find the coordinates of the vertex of the graph of ${y}={f{{\left({x}\right)}}}$ .	(2 marks)
(b)	The graph of ${y}={g{{\left({x}\right)}}}$ is obtained by translating the graph of ${y}={f{{\left({x}\right)}}}$ vertically. If the graph of ${y}={g{{\left({x}\right)}}}$ touches the ${x}$ -axis, find ${g{{\left({x}\right)}}}$ .	(2 marks)
(c)	Under a transformation, ${f{{\left({x}\right)}}}$ is changed to $\dfrac{{1}}{{2}}{x}^{{2}}+{8}{x}+{43}$ . Describe the geometric meaning of the transformation.	(2 marks)

題解

(a)	${f{{\left({x}\right)}}}$
	$=\dfrac{{1}}{{2}}{x}^{{2}}-{8}{x}+{43}$
	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({x}^{{2}}-{16}{x}\right)}+{43}$
	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({x}^{{2}}-{16}{x}-{8}^{{2}}+{8}^{{2}}\right)}+{43}$
	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({x}-{8}\right)}^{{2}}+{11}$		1A
	∴ The coordinates of the vertex of the graph $={\left({8},{11}\right)}$		1M

(b)	The graph of ${y}$	$={g{{\left({x}\right)}}}$ touching the ${x}$ -axis means that the vertex lies on the ${x}$ -axis, i.e. its ${y}$ -coordinate is ${0}$ .
	The graph of ${y}={g{{\left({x}\right)}}}$ is obtained by translating ${y}={f{{\left({x}\right)}}}$ downwards by ${11}$ units.		1M	can be absorbed
	∴ ${g{{\left({x}\right)}}}=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({x}-{8}\right)}^{{2}}$		1A

(c)	$\dfrac{{1}}{{2}}{x}^{{2}}+{8}{x}+{43}$
	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left(-{x}\right)}^{{2}}+{8}{\left(-{x}\right)}+{43}$
	$={f{{\left(-{x}\right)}}}$		1M	can be absorbed
	∴ The transformation is reflecting ${f{{\left({x}\right)}}}$ along the ${y}$ -axis.		1A

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