Change of variance due to addition, subtraction and multiplication of the old set

Question Sample Titled 'Change of variance due to addition, subtraction and multiplication of the old set'

題目

If the variance of the five numbers x15{x}-{15}, x14{x}-{14}, x4{x}-{4}, x+16{x}+{16} and x+17{x}+{17} is v{v} , which of the following must be true?

I.The variance of 3x49{3}{x}-{49}, 3x46{3}{x}-{46}, 3x16{3}{x}-{16}, 3x+44{3}{x}+{44} and 3x+47{3}{x}+{47} is 3v{3}{v} .
II.The variance of x19{x}-{19}, x18{x}-{18}, x8{x}-{8}, x+12{x}+{12} and x+13{x}+{13} is v{v} .
III.The variance of 4x15{4}{x}-{15}, 4x14{4}{x}-{14}, 4x4{4}{x}-{4}, 4x+16{4}{x}+{16} and 4x+17{4}{x}+{17} is 4v{4}{v} .

A
II only
B
III only
C
II and III only
D
I and III only
題解

Observe the ralations of each numbers in both sets.
Recall that:
1.If each datum is added or subtracted by a constant k{k}, then the variance remains unchanged.
2.If each datum is multipied by a constant k{k}, then the variance is multipied by k2{k}^{{2}} .
I.x19{x}-{19}=3(x15)4={3}{\left({x}-{15}\right)}-{4}
x18{x}-{18}=3(x14)4={3}{\left({x}-{14}\right)}-{4}
x8{x}-{8}=3(x4)4={3}{\left({x}-{4}\right)}-{4}
x+12{x}+{12}=3(x+16)4={3}{\left({x}+{16}\right)}-{4}
x+13{x}+{13}=3(x+17)4={3}{\left({x}+{17}\right)}-{4}
Each number is first multiplied by 3{3} and then subtracted by 4{4} .
∴  The new variance =(32)v=9v={\left({3}^{{2}}\right)}{v}={9}{v}
I is false.
II.3x49{3}{x}-{49}=(x15)4={\left({x}-{15}\right)}-{4}
3x46{3}{x}-{46}=(x14)4={\left({x}-{14}\right)}-{4}
3x16{3}{x}-{16}=(x4)4={\left({x}-{4}\right)}-{4}
3x+44{3}{x}+{44}=(x+16)4={\left({x}+{16}\right)}-{4}
3x+47{3}{x}+{47}=(x+17)4={\left({x}+{17}\right)}-{4}
Each number is subtracted by 4{4} .
∴  The new variance remains unchanged.
II is true.
III.4x15{4}{x}-{15}=(x15)+3x={\left({x}-{15}\right)}+{3}{x}
4x14{4}{x}-{14}=(x14)+3x={\left({x}-{14}\right)}+{3}{x}
4x4{4}{x}-{4}=(x4)+3x={\left({x}-{4}\right)}+{3}{x}
4x+16{4}{x}+{16}=(x+16)+3x={\left({x}+{16}\right)}+{3}{x}
4x+17{4}{x}+{17}=(x+17)+3x={\left({x}+{17}\right)}+{3}{x}
Each number is added by 3x{3}{x} .
∴  The new variance remains unchanged.
III is false.



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