Calculate upper quartile, standard score and standard deviation of a stem-and-leaf diagram

Question Sample Titled 'Calculate upper quartile, standard score and standard deviation of a stem-and-leaf diagram'

題目

The stem-and-leaf diagram below shows the distribution of the scores (in marks) of a group of students in a test. Jack gets the highest score in the test.

Stem (tens)

Leaf (units)

{4}

{5}

{6}

{7}

{8}

${2}$	${2}$	${2}$	${5}$
${4}$	${4}$	${5}$
${1}$	${2}$	${3}$	${3}$	${8}$	${9}$
${1}$	${6}$	${6}$
${0}$	${1}$	${5}$	${6}$

	Which of the following is/are true?
I.	The upper quartile of the distribution is ${54}$ marks.
II.	The standard score of Jack in the test is lower than ${1.4}$ .
III.	The standard deviation of the distribution is greater than ${12}$ marks.

III only

II only

II and III only

I and II only

題解

I.
	${42},{42},{42},{45},{54},{54},{55},{61},{62},{63},{63},{68},{69},{71},{76},{76},{80},{81},{85},{86}$
	Separate the data into two halves,
	Median ${\left({Q}_{{2}}\right)}=\dfrac{{{63}+{63}}}{{2}}={63}$	$\dfrac{{{10}^{{\text{th}}}\text{datum}+{11}^{{\text{th}}}\text{datum}}}{{2}}$
	Further separate the upper half and lower half into two halves,
	Lower quartile ${\left({Q}_{{1}}\right)}=\dfrac{{{54}+{54}}}{{2}}={54}$	$\dfrac{{{5}^{{\text{th}}}\text{datum}+{6}^{{\text{th}}}\text{datum}}}{{2}}$
	Upper quartile ${\left({Q}_{{3}}\right)}=\dfrac{{{76}+{76}}}{{2}}={76}$	$\dfrac{{{15}^{{\text{th}}}\text{datum}+{16}^{{\text{th}}}\text{datum}}}{{2}}$
	I is false.

II.	Using base mode of the calculator, calculate the mean and stardard score first.
	Mean ${\left(\mu\right)}={63.75}$
	Stardard deviation ${\left(\sigma\right)}={14.063694393721729}\approx{14.064}$
	∴ Standard score of Jack $=\dfrac{{{86}-{63.75}}}{{14.064}}\approx{1.582}$	stardard score $=\dfrac{{{x}-\mu}}{\sigma}$
	II is false.

III.	Stardard deviation ${\left(\sigma\right)}\approx{14.064}$
	III is true.

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