### calculate the total number of negative terms and sum of arithmetic sequence

Question Sample Titled 'calculate the total number of negative terms and sum of arithmetic sequence'

The ${n}$th term of a sequence is $-{4}{n}+{29}$ . Which of the following is/are true?

 I. $-{43}$ is a term of the sequence.  II. The sequence has ${7}$ positive terms. III. The sum of the first ${n}$ terms of the sequence is $-{2}{n}^{{2}}+\dfrac{{29}}{{2}}{n}$ .

A
I and II only
B
II only
C
I only
D
II and III only

 I. $-{4}{n}+{29}$ $=-{43}$ ${n}$ $={18}$ The ${18}$-th term of the sequence is $-{43}$ . I is true. II. $-{4}{n}+{29}$ $>{0}$ ${n}$ $<\dfrac{{29}}{{4}}$ ${n}$ $<{7.25}$ ∴   There are ${7}$ positive terms. II is true. III. ${T}{\left({n}\right)}$ is an arithmetic sequence. ${a}$ $=-{4}{\left({1}\right)}+{29}={25}$ Subsitute ${n}={1}$ ${d}$ $={\left[-{4}{\left({2}\right)}+{29}\right]}-{\left({25}\right)}=-{4}$ ${d}={T}{\left({2}\right)}-{T}{\left({1}\right)}$ ∴  ${S}{\left({n}\right)}$ $=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{\left({25}\right)}+{\left({n}-{1}\right)}{\left(-{4}\right)}\right]}$ $=\dfrac{{n}}{{2}}{\left(-{4}{n}+{54}\right)}$ $=-{2}{n}^{{2}}+{27}{n}$ III is false.

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