Calculate the common ratio, sum of terms of a geometric sequence given the third and seventh term

Question Sample Titled 'Calculate the common ratio, sum of terms of a geometric sequence given the third and seventh term'

題目

Let ${a}_{{n}}$ be the ${n}^{\text{th}}$ term of a geometric sequence. If ${a}_{{3}}={18}$ and ${a}_{{7}}={162}$ , which of the following must be true?

I.	The common ratio of the sequence is less than ${1}$ .
II.	All of the the terms of the sequence are rational numbers.
III.	The sum of the first ${99}$ terms of the sequence is greater than ${10}^{{23}}$ .

III only

II only

I and III only

II and III only

題解

I.	Let ${r}$ be the common ratio of the geometric sequence.
	${a}_{{3}}\times{r}^{{4}}$	$={a}_{{7}}$
	${18}\times{r}^{{4}}$	$={162}$
	${r}^{{4}}$	$={9}$
	${r}^{{2}}$	$={3}$ or ${r}^{{2}}=-{3}$ (rejected)
	${r}$	$=\pm\sqrt{{{3}}}$
	i.e. ${r}$	$=\sqrt{{{3}}}\approx{1.732}$ or ${r}=-\sqrt{{{3}}}\approx-{1.732}$
	I is false.
II.
	When ${r}=\sqrt{{{3}}}$ ,
	${a}_{{4}}={a}_{{3}}\times\sqrt{{{3}}}={18}\sqrt{{{3}}}$		Irrational number
	When ${r}=-\sqrt{{{3}}}$ ,
	${a}_{{4}}={a}_{{3}}\times-\sqrt{{{3}}}=-{18}\sqrt{{{3}}}$		Irrational number
	Similarly, all the even terms in the sequence are irrational, i.e. ${a}_{{2}},{a}_{{4}},{a}_{{6}},\ldots$ are irrational, while all the odd terms are rational.
	I is false.
III.
	First calculate the first term ${\left({a}_{{1}}\right)}$ of the sequence,
	${a}_{{1}}\times{r}^{{2}}$	$={a}_{{3}}$
	${a}_{{1}}\times{3}$	$={18}$
	${a}_{{1}}$	$={6}$
	Consider the case of common ratio being negative, i.e. ${r}$	$=-\sqrt{{3}}$ ,
	${S}{\left({99}\right)}$
	$=\dfrac{{{6}{\left({1}-{\left(-\sqrt{{3}}\right)}^{{99}}\right)}}}{{{1}-{\left(-\sqrt{{3}}\right)}}}$		${S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{{a}{\left({1}-{r}^{{n}}\right)}}}{{{1}-{r}}}$
	$=\dfrac{{{6}{\left({1}+{3}^{{\tfrac{{99}}{{2}}}}\right)}}}{{{1}+\sqrt{{3}}}}$		${1}-{\left(-\sqrt{{3}}\right)}^{{99}}={1}-{\left(-{3}^{{\tfrac{{1}}{{2}}}}\right)}^{{99}}={1}-{\left(-{\left({3}^{{\tfrac{{99}}{{2}}}}\right)}\right)}={1}+{\left({3}^{{\tfrac{{99}}{{2}}}}\right)}$
	$={9.102581737418128}\times{10}^{{23}}$
	$\gt{10}^{{23}}$
	∴ The sum must be greater than ${10}^{{23}}$
	III is true.

	For your reference, when ${r}=\sqrt{{3}}$ , the statement is also true.
	${S}{\left({99}\right)}$
	$=\dfrac{{{6}{\left(\sqrt{{3}}^{{99}}-{1}\right)}}}{{{\left(\sqrt{{3}}\right)}-{1}}}$
	$={3.397129752409304}\times{10}^{{24}}$
	$\gt{10}^{{23}}$

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