Calculate the common ratio, sum of terms of a geometric sequence given the third and seventh term

Question Sample Titled 'Calculate the common ratio, sum of terms of a geometric sequence given the third and seventh term'

題目

Let an{a}_{{n}} be the nth{n}^{\text{th}} term of a geometric sequence. If a3=18{a}_{{3}}={18} and a7=162{a}_{{7}}={162} , which of the following must be true?

I.The common ratio of the sequence is less than 1{1} .
II.All of the the terms of the sequence are rational numbers.
III.The sum of the first 99{99} terms of the sequence is greater than 1023{10}^{{23}} .

A
III only
B
II only
C
I and III only
D
II and III only
題解

I.Let r{r} be the common ratio of the geometric sequence.
a3×r4{a}_{{3}}\times{r}^{{4}}=a7={a}_{{7}}
18×r4{18}\times{r}^{{4}}=162={162}
r4{r}^{{4}}=9={9}
r2{r}^{{2}}=3={3} or r2=3{r}^{{2}}=-{3}(rejected)
r{r}=±3=\pm\sqrt{{{3}}}
i.e. r{r}=31.732=\sqrt{{{3}}}\approx{1.732} or r=31.732{r}=-\sqrt{{{3}}}\approx-{1.732}
I is false.
II.
When r=3{r}=\sqrt{{{3}}} ,
a4=a3×3=183{a}_{{4}}={a}_{{3}}\times\sqrt{{{3}}}={18}\sqrt{{{3}}}Irrational number
When r=3{r}=-\sqrt{{{3}}} ,
a4=a3×3=183{a}_{{4}}={a}_{{3}}\times-\sqrt{{{3}}}=-{18}\sqrt{{{3}}}Irrational number
Similarly, all the even terms in the sequence are irrational, i.e. a2,a4,a6,{a}_{{2}},{a}_{{4}},{a}_{{6}},\ldots are irrational, while all the odd terms are rational.
I is false.
III.
First calculate the first term (a1){\left({a}_{{1}}\right)} of the sequence,
a1×r2{a}_{{1}}\times{r}^{{2}}=a3={a}_{{3}}
a1×3{a}_{{1}}\times{3}=18={18}
a1{a}_{{1}}=6={6}
Consider the case of common ratio being negative, i.e. r{r}=3=-\sqrt{{3}} ,
S(99){S}{\left({99}\right)}
=6(1(3)99)1(3)=\dfrac{{{6}{\left({1}-{\left(-\sqrt{{3}}\right)}^{{99}}\right)}}}{{{1}-{\left(-\sqrt{{3}}\right)}}}S(n)=a(1rn)1r{S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{{a}{\left({1}-{r}^{{n}}\right)}}}{{{1}-{r}}}
=6(1+3992)1+3=\dfrac{{{6}{\left({1}+{3}^{{\tfrac{{99}}{{2}}}}\right)}}}{{{1}+\sqrt{{3}}}}1(3)99=1(312)99=1((3992))=1+(3992){1}-{\left(-\sqrt{{3}}\right)}^{{99}}={1}-{\left(-{3}^{{\tfrac{{1}}{{2}}}}\right)}^{{99}}={1}-{\left(-{\left({3}^{{\tfrac{{99}}{{2}}}}\right)}\right)}={1}+{\left({3}^{{\tfrac{{99}}{{2}}}}\right)}
=9.102581737418128×1023={9.102581737418128}\times{10}^{{23}}
>1023\gt{10}^{{23}}
∴   The sum must be greater than 1023{10}^{{23}}
III is true.
For your reference, when r=3{r}=\sqrt{{3}}, the statement is also true.
S(99){S}{\left({99}\right)}
=6(3991)(3)1=\dfrac{{{6}{\left(\sqrt{{3}}^{{99}}-{1}\right)}}}{{{\left(\sqrt{{3}}\right)}-{1}}}
=3.397129752409304×1024={3.397129752409304}\times{10}^{{24}}
>1023\gt{10}^{{23}}



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