### area of triangle under quadratic graph

Question Sample Titled 'area of triangle under quadratic graph'

 (a) Find the value of ${k}$ such that ${x}-{5}$ is a factor of ${f{{\left({x}\right)}}}={x}^{{3}}-{3}{x}^{{2}}-{k}{x}+{40}$. (2 marks)

${x}$${y}$${y}=-{\left({x}+{a}\right)}^{{2}}+{b}$${O}$${B}$${A}$

 (b) The figure above shows the graph of ${y}=-{\left({x}+{a}\right)}^{{2}}+{b}$. (i) The maximun point of the graph is ${\left(\dfrac{{3}}{{2}},\dfrac{{81}}{{4}}\right)}$. Write down the values of ${a}$ and ${b}$. (ii) As shown in the figure, $\triangle{O}{A}{B}$ is a right angled triangle in quadrant ${I}$. Find the ${x}$-coordinate of ${A}$ if the area of $\triangle{O}{A}{B}$ is ${20}$ $\text{sq. units}$.  (6 marks)

 (a) ${f{{\left({5}\right)}}}$ $={5}^{{3}}-{3}{\left({5}\right)}^{{2}}-{k}{\left({5}\right)}+{40}={0}$ 1M ${5}{k}$ $={90}$ ${k}$ $={18}$ 1A  (bi) ${a}$ $=-\dfrac{{3}}{{2}}$ 1A ${b}$ $=\dfrac{{81}}{{4}}$ 1A

 (bii) Let ${\left({x},{y}\right)}$ be the coordinates of ${B}$. Area of $\triangle{O}{A}{B}$ $=\dfrac{{{x}{y}}}{{2}}$ $\dfrac{{{x}{y}}}{{2}}$ $={20}$ $\dfrac{{x}}{{2}}{\left[-{\left({x}-\dfrac{{3}}{{2}}\right)}^{{2}}+\dfrac{{81}}{{4}}\right]}$ $={20}$ 1M ${x}{\left[-{\left({2}{x}-{3}\right)}^{{2}}+{81}\right]}$ $={160}$ ${x}{\left(-{4}{x}^{{2}}+{12}{x}+{72}\right)}$ $={160}$ ${x}^{{3}}-{3}{x}^{{2}}-{18}{x}+{40}$ $={0}$ 1A By (a), ${x}-{5}$ is a factor of ${x}^{{3}}-{3}{x}^{{2}}-{18}{x}+{40}={0}$. ${\left({x}-{5}\right)}{\left({x}^{{2}}+{2}{x}-{8}\right)}$ $={0}$ 1A ${\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{4}\right)}{\left({x}-{2}\right)}$ $={0}$ ${x}$ $={2},{x}={5}$ or ${x}=-{4}$ (rejected) $\therefore$The ${x}$-coordinate of ${A}$ $={2}$ or ${5}$ 1A

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