area of triangle under quadratic graph

Question Sample Titled 'area of triangle under quadratic graph'

題目

(a)Find the value of k{k} such that x5{x}-{5} is a factor of f(x)=x33x2kx+40{f{{\left({x}\right)}}}={x}^{{3}}-{3}{x}^{{2}}-{k}{x}+{40}.(2 marks)

x{x}y{y}y=(x+a)2+b{y}=-{\left({x}+{a}\right)}^{{2}}+{b}O{O}B{B}A{A}

(b)The figure above shows the graph of y=(x+a)2+b{y}=-{\left({x}+{a}\right)}^{{2}}+{b}.
(i)The maximun point of the graph is (32,814){\left(\dfrac{{3}}{{2}},\dfrac{{81}}{{4}}\right)}. Write down the values of a{a} and b{b}.
(ii)As shown in the figure, OAB\triangle{O}{A}{B} is a right angled triangle in quadrant I{I}. Find the x{x}-coordinate of A{A} if the area of OAB\triangle{O}{A}{B} is 20{20} sq. units\text{sq. units}.
(6 marks)

題解

(a)f(5){f{{\left({5}\right)}}}=533(5)2k(5)+40=0={5}^{{3}}-{3}{\left({5}\right)}^{{2}}-{k}{\left({5}\right)}+{40}={0}1M
5k{5}{k}=90={90}
k{k}=18={18}1A
(bi)a{a}=32=-\dfrac{{3}}{{2}}1A
b{b}=814=\dfrac{{81}}{{4}}1A

(bii)Let (x,y){\left({x},{y}\right)} be the coordinates of B{B}.
Area of OAB\triangle{O}{A}{B}=xy2=\dfrac{{{x}{y}}}{{2}}
xy2\dfrac{{{x}{y}}}{{2}}=20={20}
x2[(x32)2+814]\dfrac{{x}}{{2}}{\left[-{\left({x}-\dfrac{{3}}{{2}}\right)}^{{2}}+\dfrac{{81}}{{4}}\right]}=20={20}1M
x[(2x3)2+81]{x}{\left[-{\left({2}{x}-{3}\right)}^{{2}}+{81}\right]}=160={160}
x(4x2+12x+72){x}{\left(-{4}{x}^{{2}}+{12}{x}+{72}\right)}=160={160}
x33x218x+40{x}^{{3}}-{3}{x}^{{2}}-{18}{x}+{40}=0={0}1A
By (a), x5{x}-{5} is a factor of x33x218x+40=0{x}^{{3}}-{3}{x}^{{2}}-{18}{x}+{40}={0}.
(x5)(x2+2x8){\left({x}-{5}\right)}{\left({x}^{{2}}+{2}{x}-{8}\right)}=0={0}1A
(x5)(x+4)(x2){\left({x}-{5}\right)}{\left({x}+{4}\right)}{\left({x}-{2}\right)}=0={0}
x{x}=2,x=5={2},{x}={5} or x=4{x}=-{4} (rejected)
\thereforeThe x{x}-coordinate of A{A}=2={2} or 5{5}1A



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