### Area of trapezium: Use trigonometric functions and express with multiple variables

Question Sample Titled 'Area of trapezium: Use trigonometric functions and express with multiple variables'

In the figure, the area of trapezium ${A}{C}{D}{E}=$

${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$${y}$${x}$${p}$${q}$

 

A
$\dfrac{{{2}{x}{y}{\tan{{p}}}{\tan{{q}}}-{y}^{{2}}}}{{{2}{\tan{{q}}}}}$
B
$\dfrac{{{2}{x}{y}{\tan{{p}}}{\tan{{q}}}+{y}^{{2}}}}{{{2}{\tan{{q}}}}}$
C
${x}{y}{\tan{{p}}}+{y}^{{2}}$
D
${x}{y}{\tan{{p}}}-{y}^{{2}}$

 In $\triangle{A}{B}{C},$ ${\tan}\angle{A}{B}{C}$ $=\dfrac{{{A}{C}}}{{{C}{B}}}$ ${\tan{{p}}}$ $=\dfrac{{{A}{C}}}{{x}}$ ${A}{C}$ $={x}{\tan{{p}}}$ Let ${M}$ be a point on ${A}{C}$ such that ${M}{E}\bot{A}{C}$ .

${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$${y}$${x}$${M}$

 ${E}{M}$ $={C}{D}={y}$ In $\triangle{A}{M}{E},$ ${\tan}\angle{E}{A}{M}$ $=\dfrac{{{E}{M}}}{{{A}{M}}}$ ${A}{M}$ $=\dfrac{{y}}{{{\tan{{q}}}}}$

 Area of trapezium ${A}{C}{D}{E}$ $=\dfrac{{{\left({D}{E}+{A}{C}\right)}\times{C}{D}}}{{2}}$  $=\dfrac{{{\left({x}{\tan{{p}}}-\dfrac{{y}}{{{\tan{{q}}}}}+{x}{\tan{{p}}}\right)}\times{y}}}{{2}}$  $=\dfrac{{\dfrac{{{2}{x}{\tan{{p}}}{\tan{{q}}}-{y}}}{{{\tan{{q}}}}}\times{y}}}{{2}}$  $=\dfrac{{{2}{x}{y}{\tan{{p}}}{\tan{{q}}}-{y}^{{2}}}}{{{2}{\tan{{q}}}}}$

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