Angles in circle, tangent

Question Sample Titled 'Angles in circle, tangent'

題目

The figure shows a circle passing through points ${A}$ , ${B}$ , ${C}$ and ${D}$ such that ${A}{B}={A}{D}$ and ${B}{C}={2}{C}{D}$ . ${A}{T}$ is the tangent to the circle ${A}$ . ${C}{D}$ is produced to meet the tangent at point ${T}$ .

{A}

{B}

{C}

{D}

{T}

(a)	By considering $\triangle{A}{B}{C}$ and $\triangle{A}{D}{T}$ , prove that ${A}{B}^{{2}}$		$={B}{C}\cdot{D}{T}$ .							(3 marks)
(b)	Prove that ${A}{C}^{{2}}={2}{C}{D}^{{2}}+{A}{D}^{{2}}$ .									(3 marks)

題解

(a)	$\angle{A}{B}{C}$		$=\angle{T}{D}{A}$		ext. ∠, cyclic quad.
	∵	${A}{B}$	$={A}{D}$		given
	∴	$\angle{B}{C}{A}$	$=\angle{D}{C}{A}$		equal chords, equal ∠s
	$\angle{D}{C}{A}$		$=\angle{D}{A}{T}$		∠ in alt. segment
	∴	$\angle{B}{C}{A}$	$=\angle{D}{A}{T}$

	$\angle{B}{A}{C}$		$={180}^{\circ}-\angle{A}{B}{C}-\angle{B}{C}{A}$		∠ sum of △
			$={180}^{\circ}-\angle{T}{D}{A}-\angle{D}{A}{T}$
			$=\angle{D}{T}{A}$		∠ sum of △
	∴	$\triangle{A}{B}{C}$ ~ $\triangle{T}{D}{A}$			AAA
	$\dfrac{{{A}{B}}}{{{T}{D}}}$		$=\dfrac{{{B}{C}}}{{{D}{A}}}$		corr. sides, ∼△s
	${A}{B}\cdot{D}{A}$		$={B}{C}\cdot{T}{D}$
	∵	${A}{B}$	$={A}{D}$
	∴	${A}{B}^{{2}}$	$={B}{C}\cdot{T}{D}$

	(3 marks)：Correct proof with reasons
	(2 marks)：Correct proot with missing reasons
	(1 marks)：Incomplete proof with any one correct step and one correct reason


(b)	Let $\angle{B}{C}{A}$		$=\angle{D}{C}{A}={x}$ .
	In $\triangle{A}{B}{C}$ , by the cosine formula,
	${\cos{{x}}}$		$=\dfrac{{{A}{C}^{{2}}+{B}{C}^{{2}}-{A}{B}^{{2}}}}{{{2}{\left({A}{C}\right)}{\left({B}{C}\right)}}}$
	∵	${A}{B}$	$={A}{D}$ and ${B}{C}={2}{C}{D}$
	∴	${\cos{{x}}}$	$=\dfrac{{{A}{C}^{{2}}+{\left({2}{C}{D}\right)}^{{2}}-{A}{D}^{{2}}}}{{{2}{\left({A}{C}\right)}{\left({2}{C}{D}\right)}}}$
	${\cos{{x}}}$		$=\dfrac{{{A}{C}^{{2}}+{4}{C}{D}^{{2}}-{A}{D}^{{2}}}}{{{4}{\left({A}{C}\right)}{\left({C}{D}\right)}}}$	$\ldots{\left({1}\right)}$
	In $\triangle{A}{C}{D}$ by the cosine formula
	${\cos{{x}}}$		$=\dfrac{{{A}{C}^{{2}}+{C}{D}^{{2}}-{A}{D}^{{2}}}}{{{2}{\left({A}{C}\right)}{\left({C}{D}\right)}}}$	$\ldots{\left({2}\right)}$
	From ${\left({1}\right)}$ and ${\left({2}\right)}$ , we have
	$\dfrac{{{A}{C}^{{2}}+{4}{C}{D}^{{2}}-{A}{D}^{{2}}}}{{{4}{\left({A}{C}\right)}{\left({C}{D}\right)}}}$		$=\dfrac{{{A}{C}^{{2}}+{C}{D}^{{2}}-{A}{D}^{{2}}}}{{{2}{\left({A}{C}\right)}{\left({C}{D}\right)}}}$
	${\left({A}{C}^{{2}}+{4}{C}{D}^{{2}}-{A}{D}^{{2}}\right)}$		$={2}{\left({A}{C}^{{2}}+{C}{D}^{{2}}-{A}{D}^{{2}}\right)}$
	${\left({A}{C}^{{2}}+{4}{C}{D}^{{2}}-{A}{D}^{{2}}\right)}$		$={2}{A}{C}^{{2}}+{2}{C}{D}^{{2}}-{2}{A}{D}^{{2}}$
	${2}{C}{D}^{{2}}+{A}{D}^{{2}}$		$={A}{C}^{{2}}$
	${A}{C}^{{2}}$		$={2}{C}{D}^{{2}}+{A}{D}^{{2}}$

	(3 marks)：Correct proof with reasons
	(2 marks)：Correct proot with missing reasons
	(1 marks)：Incomplete proof with any one correct step and one correct reason

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