Angle in a right triangular prism

Question Sample Titled 'Angle in a right triangular prism'

題目

In the figure, ${A}{B}{C}{D}{E}{F}$ is a right triangular prism. It is given that ${A}{B}={36}$ $\text{cm}$ , ${B}{F}={9}$ $\text{cm}$ and $\angle{B}{C}{F}={20}^{\circ}$ . ${M}$ is a point on ${C}{D}$ such that ${D}{M}={30}$ $\text{cm}$ and ${B}{M}={28}$ $\text{cm}$ . Find the angle between ${E}{M}$ and ${B}{M}$ correct to the nearest ${0.01}^{\circ}$ .

{E}

{F}

{A}

{C}

{D}

{B}

{M}

{28}

\text{cm}

{63.43}^{\circ}

{62.89}^{\circ}

{66.43}^{\circ}

{67.40}^{\circ}

題解

Join ${A}{M}$ and ${B}{E}$ .
In $\triangle{B}{C}{F}$ ,
${\tan}\angle{B}{C}{F}$	$=\dfrac{{{B}{F}}}{{{B}{C}}}$
${{\tan{{20}}}^{\circ}}$	$=\dfrac{{9}}{{{B}{C}}}$
${B}{C}$	$=\dfrac{{9}}{{{\tan{{20}}}^{\circ}}}$ $\text{cm}$

In $\triangle{D}{A}{M}$ ,
${A}{M}^{{2}}$	$={A}{D}^{{2}}+{D}{M}^{{2}}$	Pyth. theorem
${A}{M}$	$=\sqrt{{{\left(\dfrac{{9}}{{{\tan{{20}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}+{30}^{{2}}}}$
	$={38.87723248642392}$ $\text{cm}$

In $\triangle{A}{E}{M}$ ,
${E}{M}^{{2}}$	$={A}{M}^{{2}}+{A}{E}^{{2}}$	Pyth. theorem
${E}{M}$	$=\sqrt{{{A}{M}^{{2}}+{9}^{{2}}}}$
	$={39.90537815637706}$ $\text{cm}$

In $\triangle{B}{E}{F}$ ,
${B}{E}^{{2}}$	$={E}{F}^{{2}}+{B}{F}^{{2}}$	Pyth. theorem
${B}{E}$	$=\sqrt{{{36}^{{2}}+{9}^{{2}}}}$
	$={9}\sqrt{{{17}}}$ $\text{cm}$

In $\triangle{B}{E}{M}$ , by the cosine formula,
${\cos}\angle{B}{M}{E}$	$=\dfrac{{{B}{M}^{{2}}+{E}{M}^{{2}}-{B}{E}^{{2}}}}{{{2}{\left({B}{M}\right)}{\left({E}{M}\right)}}}$
	$={0.4472361746610752}$
$\angle{B}{M}{E}$	$={63.43350242369042}^{\circ}$

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