Angle between two planes

Question Sample Titled 'Angle between two planes'

題目

In the figure, AB{A}{B} is a vertical pole and BCD{B}{C}{D} is a horizontal ground. If BCD=45\angle{B}{C}{D}={45}^{\circ} , ACD=60\angle{A}{C}{D}={60}^{\circ} and the angle between the plane ACD{A}{C}{D} and the horizontal ground is θ\theta, then cosθ={\cos{\theta}}=

45{45}^{\circ}60{60}^{\circ}A{A}C{C}D{D}B{B}
A
13\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}} .
B
12\dfrac{{1}}{\sqrt{{{2}}}} .
C
1{1} .
D
2\sqrt{{{2}}} .
題解

45{45}^{\circ}60{60}^{\circ}A{A}C{C}D{D}B{B}E{E}θ\theta

E{E} is point on CD{C}{D} such that BECD{B}{E}\bot{C}{D} and AECD{A}{E}\bot{C}{D} .
θ=AEB\theta=\angle{A}{E}{B}
Consider ACE\triangle{A}{C}{E},
tan60{{\tan{{60}}}^{\circ}}=AECE=\dfrac{{{A}{E}}}{{{C}{E}}}
AE{A}{E}=tan60CE=3CE={{\tan{{60}}}^{\circ}{C}}{E}=\sqrt{{3}}{C}{E}tan60=3{{\tan{{60}}}^{\circ}=}\sqrt{{3}}
Consider BCD\triangle{B}{C}{D},
tan45{{\tan{{45}}}^{\circ}}=BECE=\dfrac{{{B}{E}}}{{{C}{E}}}
BE{B}{E}=CE={C}{E}tan45=1{{\tan{{45}}}^{\circ}=}{1}
Consider AEB\triangle{A}{E}{B},
cosθ{\cos{\theta}}=BEAE=\dfrac{{{B}{E}}}{{{A}{E}}}
=CE3CE=\dfrac{{{C}{E}}}{{\sqrt{{{3}}}{C}{E}}}
=13=\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}}



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