Angle between two faces in a pyramid with rectangular base

Question Sample Titled 'Angle between two faces in a pyramid with rectangular base'

題目

In the figure, ${V}{A}{B}{C}{D}$ is a pyramid with rectangular base. ${V}{A}{D}$ and ${V}{B}{C}$ are two isoceles triangles with ${V}{A}={V}{D}$ and ${V}{B}={V}{C}$ . Given that ${V}{D}={72}$ $\text{m}$ , ${V}{B}={60}$ $\text{m}$ , ${B}{C}={42}$ $\text{m}$ and ${C}{D}={57}$ $\text{m}$ . Find the angle between ${V}{A}{D}$ and ${V}{B}{C}$ correct to the nearest ${0.1}^{\circ}$ .

{B}

{C}

{D}

{V}

{A}

{42}

\text{m}

{57}

\text{m}

{60}

\text{m}

{72}

\text{m}

{53.1}^{\circ}

{66.4}^{\circ}

{50.2}^{\circ}

{68.1}^{\circ}

題解

	Add points ${H}$ and ${K}$ on ${A}{D}$ and ${B}{C}$ respectively
	such that ${V}{H}\bot{A}{D}$ and ${V}{K}\bot{B}{C}$ .

{B}

{C}

{D}

{V}

{A}

{42}

\text{m}

{57}

\text{m}

{60}

\text{m}

{72}

\text{m}

{H}

{K}

Note that the required angle is $\angle{H}{V}{K}$ .
In $\triangle{V}{K}{B}$ ,
${V}{B}^{{2}}$	$={V}{K}^{{2}}+{B}{K}^{{2}}$	Pyth. theorem
${V}{K}$	$=\sqrt{{{60}^{{2}}-{\left(\dfrac{{42}}{{2}}\right)}^{{2}}}}$
	$={9}\sqrt{{{39}}}$
Similarly,
${V}{H}$	$={3}\sqrt{{{527}}}$
In $\triangle{H}{V}{K}$ , by the cosine formula,
${\cos}\angle{H}{V}{K}$	$=\dfrac{{{V}{H}^{{2}}+{V}{K}^{{2}}-{H}{K}^{{2}}}}{{{2}\cdot{V}{H}\cdot{V}{K}}}$
	$=\dfrac{{{\left({9}\sqrt{{{39}}}\right)}^{{2}}+{\left({3}\sqrt{{{527}}}\right)}^{{2}}-{57}^{{2}}}}{{{2}\cdot{9}\sqrt{{{39}}}\cdot{3}\sqrt{{{527}}}}}$
$\angle{H}{V}{K}$	$={53.055749566171045}^{\circ}$

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