Angle between two faces in a pyramid with rectangular base

Question Sample Titled 'Angle between two faces in a pyramid with rectangular base'

題目

In the figure, VABCD{V}{A}{B}{C}{D} is a pyramid with rectangular base. VAD{V}{A}{D} and VBC{V}{B}{C} are two isoceles triangles with VA=VD{V}{A}={V}{D} and VB=VC{V}{B}={V}{C} . Given that VD=72{V}{D}={72} m\text{m} , VB=60{V}{B}={60} m\text{m} , BC=42{B}{C}={42} m\text{m} and CD=57{C}{D}={57} m\text{m} . Find the angle between VAD{V}{A}{D} and VBC{V}{B}{C} correct to the nearest 0.1{0.1}^{\circ} .

B{B}C{C}D{D}V{V}A{A}42{42} m\text{m}57{57} m\text{m}60{60} m\text{m}72{72} m\text{m}
A
53.1{53.1}^{\circ}
B
66.4{66.4}^{\circ}
C
50.2{50.2}^{\circ}
D
68.1{68.1}^{\circ}
題解

Add points H{H} and K{K} on AD{A}{D} and BC{B}{C} respectively
such that VHAD{V}{H}\bot{A}{D} and VKBC{V}{K}\bot{B}{C} .

B{B}C{C}D{D}V{V}A{A}42{42} m\text{m}57{57} m\text{m}60{60} m\text{m}72{72} m\text{m}H{H}K{K}

Note that the required angle is HVK\angle{H}{V}{K} .
In VKB\triangle{V}{K}{B} ,
VB2{V}{B}^{{2}}=VK2+BK2={V}{K}^{{2}}+{B}{K}^{{2}}Pyth. theorem
VK{V}{K}=602(422)2=\sqrt{{{60}^{{2}}-{\left(\dfrac{{42}}{{2}}\right)}^{{2}}}}
=939={9}\sqrt{{{39}}}
Similarly,
VH{V}{H}=3527={3}\sqrt{{{527}}}
In HVK\triangle{H}{V}{K} , by the cosine formula,
cosHVK{\cos}\angle{H}{V}{K}=VH2+VK2HK22VHVK=\dfrac{{{V}{H}^{{2}}+{V}{K}^{{2}}-{H}{K}^{{2}}}}{{{2}\cdot{V}{H}\cdot{V}{K}}}
=(939)2+(3527)257229393527=\dfrac{{{\left({9}\sqrt{{{39}}}\right)}^{{2}}+{\left({3}\sqrt{{{527}}}\right)}^{{2}}-{57}^{{2}}}}{{{2}\cdot{9}\sqrt{{{39}}}\cdot{3}\sqrt{{{527}}}}}
HVK\angle{H}{V}{K}=53.055749566171045={53.055749566171045}^{\circ}



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