3D figure: Glasshouse

Question Sample Titled '3D figure: Glasshouse'

題目

The figure shows a glasshouse built on a horizontal ground. It consists of two parts. The upper part is a right pyramid with a rectangular base of dimensions 21{21} m×43\text{m}\times{43} m\text{m} and the slant height is 32{32} m\text{m}. The lower part is a cuboid with a base the same as the pyramid.

B{B}O{O}A{A}C{C}D{D}21{21} m\text{m}43{43} m\text{m}32{32} m\text{m}8{8} m\text{m}V{V}T{T}EN

(a)Find the height of the glasshouse.(2 marks)
(b)As shown in the figure, the edge OB{O}{B} is along the north-south direction and the edge OA{O}{A} is along the east-west direction. The overhead sun casts a shadow of the glasshouse on the ground. The angle of elevation from the tip T{T} of the shadow to the tip V{V} of the glasshouse is 29{29}^{\circ} . The bearing of O{O} from T{T} is 290{290}^{\circ} . Find the distance between O{O} and T{T} .(5 marks)

題解

(a)Let M{M} be the mid-point of CD{C}{D},
X{X} be the vertical projection of V{V} on the base of pyramid.
In VCM\triangle{V}{C}{M} ,
VC2{V}{C}^{{2}}=CM2+VM2={C}{M}^{{2}}+{V}{M}^{{2}}Pyth. theorem1M
VM{V}{M}=322(212)2=\sqrt{{{32}^{{2}}-{\left(\dfrac{{21}}{{2}}\right)}^{{2}}}}
=36552=\dfrac{{\sqrt{{{3655}}}}}{{2}} m\text{m}
In VMX\triangle{V}{M}{X} ,
VM2{V}{M}^{{2}}=MX2+VX2={M}{X}^{{2}}+{V}{X}^{{2}}Pyth. theorem
VX{V}{X}=(36552)2(432)2=\sqrt{{{\left(\dfrac{{\sqrt{{{3655}}}}}{{2}}\right)}^{{2}}-{\left(\dfrac{{43}}{{2}}\right)}^{{2}}}}
=18062=\dfrac{{\sqrt{{{1806}}}}}{{2}} m\text{m}
∴  Required height=(18062+8)={\left(\dfrac{{\sqrt{{{1806}}}}}{{2}}+{8}\right)} m\text{m}1A
(b)Let Z{Z} be the vertical projection of V{V} on the ground.
In VZT\triangle{V}{Z}{T} ,
tanVTZ{\tan}\angle{V}{T}{Z}=VZZT=\dfrac{{{V}{Z}}}{{{Z}{T}}}
ZT{Z}{T}=18062+8tan29=\dfrac{{\dfrac{{\sqrt{{{1806}}}}}{{2}}+{8}}}{{{\tan{{29}}}^{\circ}}} m\text{m}1A
Let N{N} be the mid-point of AO{A}{O}.
In ONZ\triangle{O}{N}{Z} ,
OZ2{O}{Z}^{{2}}=ON2+NZ2={O}{N}^{{2}}+{N}{Z}^{{2}}Pyth. theorem1M
OZ{O}{Z}=(212)2+(432)2=\sqrt{{{\left(\dfrac{{21}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{43}}{{2}}\right)}^{{2}}}}
=22902=\dfrac{{\sqrt{{{2290}}}}}{{2}} m\text{m}
TOZ\angle{T}{O}{Z}=180NOZ+(90(360290))={180}^{\circ}-\angle{N}{O}{Z}+{\left({90}^{\circ}-{\left({360}^{\circ}-{290}^{\circ}\right)}\right)}1M
=200tan1(21.510.5)={200}^{\circ}-{{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{21.5}}{{10.5}}\right)}}
Let x{x} be the distance between O{O} and T{T}.
By the cosine formula,
ZT2{Z}{T}^{{2}}=OZ2+x22(OZ)(x)cosTOZ={O}{Z}^{{2}}+{x}^{{2}}-{2}{\left({O}{Z}\right)}{\left({x}\right)}{\cos}\angle{T}{O}{Z}1M
x2+(2(22902)cos(200tan1(21.510.5)))x+572.5(18062+8tan29)2=0{x}^{{2}}+{\left(-{2}{\left(\dfrac{{\sqrt{{{2290}}}}}{{2}}\right)}{\cos{{\left({200}^{\circ}-{{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{21.5}}{{10.5}}\right)}}\right)}}}\right)}{x}+{572.5}-{\left(\dfrac{{\dfrac{{\sqrt{{{1806}}}}}{{2}}+{8}}}{{{\tan{{29}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}={0}
x{x}=32.862={32.862} or x=67.303{x}=-{67.303} (rejected)
∴  Required distance=32.9={32.9} m\text{m} (cor. to 3 sig. fig.)1A



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