3D figure: Glasshouse

Question Sample Titled '3D figure: Glasshouse'

題目

The figure shows a glasshouse built on a horizontal ground. It consists of two parts. The upper part is a right pyramid with a rectangular base of dimensions ${21}$ $\text{m}\times{43}$ $\text{m}$ and the slant height is ${32}$ $\text{m}$ . The lower part is a cuboid with a base the same as the pyramid.

{B}

{O}

{A}

{C}

{D}

{21}

\text{m}

{43}

\text{m}

{32}

\text{m}

{8}

\text{m}

{V}

{T}

(a)	Find the height of the glasshouse.									(2 marks)
(b)	As shown in the figure, the edge ${O}{B}$ is along the north-south direction and the edge ${O}{A}$ is along the east-west direction. The overhead sun casts a shadow of the glasshouse on the ground. The angle of elevation from the tip ${T}$ of the shadow to the tip ${V}$ of the glasshouse is ${29}^{\circ}$ . The bearing of ${O}$ from ${T}$ is ${290}^{\circ}$ . Find the distance between ${O}$ and ${T}$ .									(5 marks)

題解

(a)	Let ${M}$ be the mid-point of ${C}{D}$ ,
	${X}$ be the vertical projection of ${V}$ on the base of pyramid.
	In $\triangle{V}{C}{M}$ ,
	${V}{C}^{{2}}$	$={C}{M}^{{2}}+{V}{M}^{{2}}$	Pyth. theorem	1M
	${V}{M}$	$=\sqrt{{{32}^{{2}}-{\left(\dfrac{{21}}{{2}}\right)}^{{2}}}}$		1M
		$=\dfrac{{\sqrt{{{3655}}}}}{{2}}$ $\text{m}$

	In $\triangle{V}{M}{X}$ ,
	${V}{M}^{{2}}$	$={M}{X}^{{2}}+{V}{X}^{{2}}$	Pyth. theorem
	${V}{X}$	$=\sqrt{{{\left(\dfrac{{\sqrt{{{3655}}}}}{{2}}\right)}^{{2}}-{\left(\dfrac{{43}}{{2}}\right)}^{{2}}}}$
		$=\dfrac{{\sqrt{{{1806}}}}}{{2}}$ $\text{m}$

	∴ Required height	$={\left(\dfrac{{\sqrt{{{1806}}}}}{{2}}+{8}\right)}$ $\text{m}$		1A

(b)	Let ${Z}$ be the vertical projection of ${V}$ on the ground.
	In $\triangle{V}{Z}{T}$ ,
	${\tan}\angle{V}{T}{Z}$	$=\dfrac{{{V}{Z}}}{{{Z}{T}}}$
	${Z}{T}$	$=\dfrac{{\dfrac{{\sqrt{{{1806}}}}}{{2}}+{8}}}{{{\tan{{29}}}^{\circ}}}$ $\text{m}$		1A

	Let ${N}$ be the mid-point of ${A}{O}$ .
	In $\triangle{O}{N}{Z}$ ,
	${O}{Z}^{{2}}$	$={O}{N}^{{2}}+{N}{Z}^{{2}}$	Pyth. theorem	1M
	${O}{Z}$	$=\sqrt{{{\left(\dfrac{{21}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{43}}{{2}}\right)}^{{2}}}}$		1M
		$=\dfrac{{\sqrt{{{2290}}}}}{{2}}$ $\text{m}$

	$\angle{T}{O}{Z}$	$={180}^{\circ}-\angle{N}{O}{Z}+{\left({90}^{\circ}-{\left({360}^{\circ}-{290}^{\circ}\right)}\right)}$		1M
		$={200}^{\circ}-{{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{21.5}}{{10.5}}\right)}}$		1M

	Let ${x}$ be the distance between ${O}$ and ${T}$ .
	By the cosine formula,
	${Z}{T}^{{2}}$	$={O}{Z}^{{2}}+{x}^{{2}}-{2}{\left({O}{Z}\right)}{\left({x}\right)}{\cos}\angle{T}{O}{Z}$		1M
	${x}^{{2}}+{\left(-{2}{\left(\dfrac{{\sqrt{{{2290}}}}}{{2}}\right)}{\cos{{\left({200}^{\circ}-{{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{21.5}}{{10.5}}\right)}}\right)}}}\right)}{x}+{572.5}-{\left(\dfrac{{\dfrac{{\sqrt{{{1806}}}}}{{2}}+{8}}}{{{\tan{{29}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}={0}$			1M
	${x}$	$={32.862}$ or ${x}=-{67.303}$ (rejected)

	∴ Required distance	$={32.9}$ $\text{m}$ (cor. to 3 sig. fig.)		1A

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