3D angles in pyramid

Question Sample Titled '3D angles in pyramid'

題目

Figure (a) shows a right pyramid TABCD{T}{A}{B}{C}{D} with a square base, where TAB=75\angle{T}{A}{B}={75}^{\circ} . The length of a side of the base is 23{23} cm\text{cm} . Let H{H} and K{K} be the points lying on TA{T}{A} and TB{T}{B} respectively such that HK{H}{K} is parallel to CD{C}{D} and HDA=57\angle{H}{D}{A}={57}^{\circ} . A geometric model is made by cutting off the pyramid THKCD{T}{H}{K}{C}{D} from TABCD{T}{A}{B}{C}{D} as shown in Figure (b).

T{T}A{A}C{C}D{D}B{B}T{T}A{A}C{C}D{D}B{B}H{H}K{K}Figure (a)Figure (b)

(a)Find the length of AH{A}{H} .(2 marks)
(b)Let θ\theta be the angle between the plane HDCK{H}{D}{C}{K} and the base ABCD{A}{B}{C}{D}.
(i)Find θ\theta .
(ii)Let ϕ\phi be the angle between HD{H}{D} and the base ABCD{A}{B}{C}{D} . Which one of θ\theta and ϕ\phi is greater? Explain your answer.
(6 marks)

題解

(a)By sine formula,
AHsinHDA\dfrac{{{A}{H}}}{{{\sin}\angle{H}{D}{A}}}=ADsinAHD=\dfrac{{{A}{D}}}{{{\sin}\angle{A}{H}{D}}}1M
AHsin57\dfrac{{{A}{H}}}{{{\sin{{57}}}^{\circ}}}=23sin(1805775)=\dfrac{{{23}}}{{{\sin{{\left({180}^{\circ}-{57}^{\circ}-{75}^{\circ}\right)}}}}}
AH{A}{H}=23sin57sin48=\dfrac{{{23}{\sin{{57}}}^{\circ}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}
\thereforeThus, the length of AH{A}{H} is 26.0{26.0} cm\text{cm} .1A
(bi)Let X{X} be the foot of the perpendicular from H{H} at AB{A}{B} .
HX{H}{X}=AHsinHAB={A}{H}{\sin}\angle{H}{A}{B}1M
=23sin57sin75sin48=\dfrac{{{23}{{\sin{{57}}}^{\circ}{\sin{{75}}}^{\circ}}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}
AX{A}{X}=AHcosHAB={A}{H}{\cos}\angle{H}{A}{B}
=23sin57cos75sin48=\dfrac{{{23}{{\sin{{57}}}^{\circ}{\cos{{75}}}^{\circ}}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}
By sine formula,
HDsinHAD\dfrac{{{H}{D}}}{{{\sin}\angle{H}{A}{D}}}=ADsinAHD=\dfrac{{{A}{D}}}{{{\sin}\angle{A}{H}{D}}}
HD{H}{D}=23sin75sin48=\dfrac{{{23}{\sin{{75}}}^{\circ}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}
Let Y{Y} be the foot of the perpendicular from H{H} to CD{C}{D} .
HY2{H}{Y}^{{2}}=HD2AX2={H}{D}^{{2}}-{A}{X}^{{2}}
HY{H}{Y}=(23sin75sin48)2(23sin57cos75sin48)2=\sqrt{{{\left(\dfrac{{{23}{\sin{{75}}}^{\circ}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}-{\left(\dfrac{{{23}{{\sin{{57}}}^{\circ}{\cos{{75}}}^{\circ}}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}}}
Note that θ\theta=XYH=\angle{X}{Y}{H} .1M
By cosine formula,
cosθ{\cos{\theta}}=HY2+XY2HX22(HY)(XY)=\dfrac{{{H}{Y}^{{2}}+{X}{Y}^{{2}}-{H}{X}^{{2}}}}{{{2}{\left({H}{Y}\right)}{\left({X}{Y}\right)}}}1M
θ\theta56.0\approx{56.0}^{\circ}1A
(bii)Let Z{Z} be the projection of H{H} on the base ABCD{A}{B}{C}{D}.
Then, ϕ\phi=HDZ=\angle{H}{D}{Z}.1M
Note that HD{H}{D}>HY>{H}{Y} .
sinθ{\sin{\theta}}=HZHY=\dfrac{{{H}{Z}}}{{{H}{Y}}}
>HZHD>\dfrac{{{H}{Z}}}{{{H}{D}}}
=sinHDZ={\sin}\angle{H}{D}{Z}
=ϕ=\phi
Since θ\theta and ϕ\phi are acute angles, θ\theta is greater than ϕ\phi.1A



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