3D angles in pyramid

Question Sample Titled '3D angles in pyramid'

題目

Figure (a) shows a right pyramid ${T}{A}{B}{C}{D}$ with a square base, where $\angle{T}{A}{B}={75}^{\circ}$ . The length of a side of the base is ${23}$ $\text{cm}$ . Let ${H}$ and ${K}$ be the points lying on ${T}{A}$ and ${T}{B}$ respectively such that ${H}{K}$ is parallel to ${C}{D}$ and $\angle{H}{D}{A}={57}^{\circ}$ . A geometric model is made by cutting off the pyramid ${T}{H}{K}{C}{D}$ from ${T}{A}{B}{C}{D}$ as shown in Figure (b).

{T}

{A}

{C}

{D}

{B}

{T}

{A}

{C}

{D}

{B}

{H}

{K}

Figure (a)

Figure (b)

(a)	Find the length of ${A}{H}$ .		(2 marks)
(b)	Let $\theta$ be the angle between the plane ${H}{D}{C}{K}$ and the base ${A}{B}{C}{D}$ .
	(i)	Find $\theta$ .
	(ii)	Let $\phi$ be the angle between ${H}{D}$ and the base ${A}{B}{C}{D}$ . Which one of $\theta$ and $\phi$ is greater? Explain your answer.
			(6 marks)

題解

(a)	By sine formula,
	$\dfrac{{{A}{H}}}{{{\sin}\angle{H}{D}{A}}}$	$=\dfrac{{{A}{D}}}{{{\sin}\angle{A}{H}{D}}}$	1M
	$\dfrac{{{A}{H}}}{{{\sin{{57}}}^{\circ}}}$	$=\dfrac{{{23}}}{{{\sin{{\left({180}^{\circ}-{57}^{\circ}-{75}^{\circ}\right)}}}}}$
	${A}{H}$	$=\dfrac{{{23}{\sin{{57}}}^{\circ}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}$
	$\therefore$ Thus, the length of ${A}{H}$ is ${26.0}$ $\text{cm}$ .		1A

(bi)	Let ${X}$ be the foot of the perpendicular from ${H}$ at ${A}{B}$ .
	${H}{X}$	$={A}{H}{\sin}\angle{H}{A}{B}$	1M
		$=\dfrac{{{23}{{\sin{{57}}}^{\circ}{\sin{{75}}}^{\circ}}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}$
	${A}{X}$	$={A}{H}{\cos}\angle{H}{A}{B}$
		$=\dfrac{{{23}{{\sin{{57}}}^{\circ}{\cos{{75}}}^{\circ}}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}$
	By sine formula,
	$\dfrac{{{H}{D}}}{{{\sin}\angle{H}{A}{D}}}$	$=\dfrac{{{A}{D}}}{{{\sin}\angle{A}{H}{D}}}$
	${H}{D}$	$=\dfrac{{{23}{\sin{{75}}}^{\circ}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}$

	Let ${Y}$ be the foot of the perpendicular from ${H}$ to ${C}{D}$ .
	${H}{Y}^{{2}}$	$={H}{D}^{{2}}-{A}{X}^{{2}}$
	${H}{Y}$	$=\sqrt{{{\left(\dfrac{{{23}{\sin{{75}}}^{\circ}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}-{\left(\dfrac{{{23}{{\sin{{57}}}^{\circ}{\cos{{75}}}^{\circ}}}}{{{\sin{{48}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}}}$

	Note that $\theta$	$=\angle{X}{Y}{H}$ .	1M
	By cosine formula,
	${\cos{\theta}}$	$=\dfrac{{{H}{Y}^{{2}}+{X}{Y}^{{2}}-{H}{X}^{{2}}}}{{{2}{\left({H}{Y}\right)}{\left({X}{Y}\right)}}}$	1M
	$\theta$	$\approx{56.0}^{\circ}$	1A

(bii)	Let ${Z}$ be the projection of ${H}$ on the base ${A}{B}{C}{D}$ .
	Then, $\phi$	$=\angle{H}{D}{Z}$ .	1M
	Note that ${H}{D}$	$>{H}{Y}$ .
	${\sin{\theta}}$	$=\dfrac{{{H}{Z}}}{{{H}{Y}}}$
		$>\dfrac{{{H}{Z}}}{{{H}{D}}}$
		$={\sin}\angle{H}{D}{Z}$
		$=\phi$
	Since $\theta$ and $\phi$ are acute angles, $\theta$ is greater than $\phi$ .		1A

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