3D angles

Question Sample Titled '3D angles'

題目

Figure (a) shows a piece of triangular paper card

{A}{B}{C}

with

{A}{B}={36}

\text{cm}

{B}{C}={15}

\text{cm}

and

{A}{C}={39}

\text{cm}

. Let

{E}

be a point lying on

{A}{C}

such that

\angle{B}{E}{C}={76}^{\circ}

{A}

{B}

{C}

{E}

Figure (a)

	Find
	(i)	$\angle{B}{C}{E}$ ,
	(ii)	${C}{E}$ .

										(3 marks)
(b)	Chloe folds the triangular paper card described in (a) along ${B}{E}$ such that ${A}{B}$ and ${B}{C}$ lie on the horizontal ground as shown in Figure (b). It is given that $\angle{A}{E}{C}={159}^{\circ}$ .

Figure (b)

{A}

{B}

{C}

{E}

(i)	Find the distance between ${A}$ and ${C}$ on the horizontal ground.
(ii)	Let ${F}$ be a point lying on ${B}{C}$ such that ${E}{F}$ is perpendicular to ${B}{C}$ . Chloe claims that the angle between the face ${B}{C}{E}$ and the horizontal ground is $\angle{A}{F}{E}$ . Do you agree? Explain your answer.
		(5 marks)

題解

(ai)	Note that $\angle{A}{B}{C}$	$={90}^{\circ}$ .
	${\tan}\angle{B}{C}{E}$	$=\dfrac{{36}}{{15}}$
	$\angle{B}{C}{E}$	$={{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{36}}{{15}}\right)}}$
		$\approx{67.4}^{\circ}$	1A

(aii)	By sine formula,
	$\dfrac{{{C}{E}}}{{{\sin}\angle{E}{B}{C}}}$	$=\dfrac{{{B}{C}}}{{{\sin}\angle{B}{E}{C}}}$	1M
	$\dfrac{{{C}{E}}}{{\sin{{\left({180}^{\circ}-{76}^{\circ}-{{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{36}}{{15}}\right)}}\right)}}}}$	$\approx\dfrac{{15}}{{{\sin{{76}}}^{\circ}}}$
	${C}{E}$	$=\dfrac{{{15}{\sin{{\left({104}^{\circ}-{{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{36}}{{15}}\right)}}\right)}}}}}{{{\sin{{76}}}^{\circ}}}$
	${C}{E}$	$\approx{9.22}$ $\text{cm}$	1A

(bi)	By cosine formula,
	${A}{C}^{{2}}$	$={A}{E}^{{2}}+{C}{E}^{{2}}-{2}{\left({A}{E}\right)}{\left({C}{E}\right)}{\cos}\angle{A}{E}{C}$	1M
	${A}{C}$	$\approx{38.5}$ $\text{cm}$	1A

(bii)	${C}{F}$	$={C}{E}{\cos}\angle{B}{C}{E}$	1M
		$\approx{3.55}$ $\text{cm}$

	By cosine formula,
	${A}{B}^{{2}}$	$={B}{C}^{{2}}+{A}{C}^{{2}}-{2}{\left({A}{C}\right)}{\left({B}{C}\right)}{\cos}\angle{A}{C}{B}$
	$\angle{A}{C}{B}$	$\approx{69.0}^{\circ}$

	By cosine formula,
	${A}{F}^{{2}}$	$={C}{F}^{{2}}+{A}{C}^{{2}}-{2}{\left({C}{F}\right)}{\left({A}{C}\right)}{\cos}\angle{A}{C}{B}$
	${A}{F}$	$\approx{37.4}$ $\text{cm}$

	By sine formula,
	$\dfrac{{{A}{C}}}{{{\sin}\angle{A}{F}{C}}}$	$=\dfrac{{{A}{F}}}{{{\sin}\angle{A}{C}{F}}}$
	$\angle{A}{F}{C}$	$\approx{74.1}^{\circ}$ or $\angle{A}{F}{C}\approx{106}^{\circ}$
	So, $\angle{A}{F}{C}$ is not a right angle.		1M
	Hence, $\angle{A}{F}{E}$ is not the angle between the face ${B}{C}{E}$ and the horizontal ground.
	Thus, she is incorrect.		1A

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