3D angles

Question Sample Titled '3D angles'

題目

Figure (a) shows a piece of triangular paper card ABC{A}{B}{C} with AB=36{A}{B}={36} cm\text{cm} , BC=15{B}{C}={15} cm\text{cm} and AC=39{A}{C}={39} cm\text{cm} . Let E{E} be a point lying on AC{A}{C} such that BEC=76\angle{B}{E}{C}={76}^{\circ}.

A{A}B{B}C{C}E{E}Figure (a)

Find
(i)BCE\angle{B}{C}{E} ,
(ii)CE{C}{E} .

(3 marks)
(b)Chloe folds the triangular paper card described in (a) along BE{B}{E} such that AB{A}{B} and BC{B}{C} lie on the horizontal ground as shown in Figure (b). It is given that AEC=159\angle{A}{E}{C}={159}^{\circ} .

Figure (b)A{A}B{B}C{C}E{E}

(i)Find the distance between A{A} and C{C} on the horizontal ground.
(ii)Let F{F} be a point lying on BC{B}{C} such that EF{E}{F} is perpendicular to BC{B}{C} . Chloe claims that the angle between the face BCE{B}{C}{E} and the horizontal ground is AFE\angle{A}{F}{E} . Do you agree? Explain your answer.
(5 marks)

題解

(ai)Note that ABC\angle{A}{B}{C}=90={90}^{\circ}.
tanBCE{\tan}\angle{B}{C}{E}=3615=\dfrac{{36}}{{15}}
BCE\angle{B}{C}{E}=tan1(3615)={{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{36}}{{15}}\right)}}
67.4\approx{67.4}^{\circ}1A
(aii)By sine formula,
CEsinEBC\dfrac{{{C}{E}}}{{{\sin}\angle{E}{B}{C}}}=BCsinBEC=\dfrac{{{B}{C}}}{{{\sin}\angle{B}{E}{C}}}1M
CEsin(18076tan1(3615))\dfrac{{{C}{E}}}{{\sin{{\left({180}^{\circ}-{76}^{\circ}-{{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{36}}{{15}}\right)}}\right)}}}}15sin76\approx\dfrac{{15}}{{{\sin{{76}}}^{\circ}}}
CE{C}{E}=15sin(104tan1(3615))sin76=\dfrac{{{15}{\sin{{\left({104}^{\circ}-{{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{36}}{{15}}\right)}}\right)}}}}}{{{\sin{{76}}}^{\circ}}}
CE{C}{E}9.22\approx{9.22} cm\text{cm}1A

(bi)By cosine formula,
AC2{A}{C}^{{2}}=AE2+CE22(AE)(CE)cosAEC={A}{E}^{{2}}+{C}{E}^{{2}}-{2}{\left({A}{E}\right)}{\left({C}{E}\right)}{\cos}\angle{A}{E}{C}1M
AC{A}{C}38.5\approx{38.5} cm\text{cm}1A
(bii)CF{C}{F}=CEcosBCE={C}{E}{\cos}\angle{B}{C}{E}1M
3.55\approx{3.55} cm\text{cm}
By cosine formula,
AB2{A}{B}^{{2}}=BC2+AC22(AC)(BC)cosACB={B}{C}^{{2}}+{A}{C}^{{2}}-{2}{\left({A}{C}\right)}{\left({B}{C}\right)}{\cos}\angle{A}{C}{B}
ACB\angle{A}{C}{B}69.0\approx{69.0}^{\circ}
By cosine formula,
AF2{A}{F}^{{2}}=CF2+AC22(CF)(AC)cosACB={C}{F}^{{2}}+{A}{C}^{{2}}-{2}{\left({C}{F}\right)}{\left({A}{C}\right)}{\cos}\angle{A}{C}{B}
AF{A}{F}37.4\approx{37.4} cm\text{cm}
By sine formula,
ACsinAFC\dfrac{{{A}{C}}}{{{\sin}\angle{A}{F}{C}}}=AFsinACF=\dfrac{{{A}{F}}}{{{\sin}\angle{A}{C}{F}}}
AFC\angle{A}{F}{C}74.1\approx{74.1}^{\circ} or AFC106\angle{A}{F}{C}\approx{106}^{\circ}
So, AFC\angle{A}{F}{C} is not a right angle.1M
Hence, AFE\angle{A}{F}{E} is not the angle between the face BCE{B}{C}{E} and the horizontal ground.
Thus, she is incorrect.1A



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