Theorems about tangents

Question Sample Titled 'Theorems about tangents'

(a)	If ${P}{Q}$ is the tangent to the circle at ${T}$ , then ${P}{Q}\bot{O}{T}$ .
	${(}$ tangent $\bot$ radius ${)}$

{O}

{T}

{P}

{Q}

(b)	If two tangents, ${T}{P}$ and ${T}{Q}$ , are drawn to a circle from an external point ${T}$ and touch the circle at ${P}$ and ${Q}$ respectively, then
	(i)	${T}{P}={T}{Q}$ ,
	(ii)	${a}={b}$ ,
	(iii)	${c}={d}$ .
	${(}$ tangent properties ${)}$

{O}

{P}

{Q}

{T}

{a}

{b}

{c}

{d}

${\left({c}\right)}$	A tangent-chord angle of a circle is equal to an angle in the alternate segment.
	(i)	${a}={b}$
	(ii)	${c}={d}$
	${\left(\angle\right.}$ in alt.segment ${)}$

{P}

{Q}

{R}

{T}

{S}

{a}

{b}

{c}

{d}

Example

In the figure,

{P}{Q}

and

{P}{R}

are tangents to the circle at

{A}

and

{C}

respectively. If

\angle{C}{P}{A}={46}^{\circ}

and

\angle{B}{A}{Q}={63}^{\circ}

, find

	(a)	$\angle{P}{C}{A}$ ,
	(b)	$\angle{O}{C}{A}$ ,
	(c)	$\angle{O}{C}{B}$ .

Solution

(a)	∵ ${P}{C}={P}{A}$			tangent properties
	∴ $\angle{P}{C}{A}=\angle{P}{A}{C}$			base ∠s, isos. △
	In $\triangle{P}{A}{C}$ ,
	$\angle{P}{C}{A}+\angle{P}{A}{C}+\angle{C}{P}{A}$		$={180}^{\circ}$	∠ sum of △
	${2}\angle{P}{C}{A}+{46}^{\circ}$		$={180}^{\circ}$
	$\angle{P}{C}{A}$		$={67}^{\circ}$
(b)	$\angle{O}{C}{P}={90}^{\circ}$			tangent ⊥ radius
	∵	$\angle{O}{C}{A}+\angle{P}{C}{A}$	$=\angle{O}{C}{P}$
	∴	$\angle{O}{C}{A}+{67}^{\circ}$	$={90}^{\circ}$
	$\angle{O}{C}{A}$		$={23}^{\circ}$
(c)	$\angle{B}{C}{A}=\angle{B}{A}{Q}={63}^{\circ}$			∠ in alt. segment
	∵	$\angle{O}{C}{B}+\angle{O}{C}{A}$	$=\angle{B}{C}{A}$
	∴	$\angle{O}{C}{B}+{23}^{\circ}$	$={63}^{\circ}$
	$\angle{O}{C}{B}$		$={40}^{\circ}$

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