Theorems about tangents

Question Sample Titled 'Theorems about tangents'


(a)If PQ{P}{Q} is the tangent to the circle at T{T} , then PQOT{P}{Q}\bot{O}{T} .
({(}tangent \bot radius){)}

O{O}T{T}P{P}Q{Q}

(b)If two tangents, TP{T}{P} and TQ{T}{Q} , are drawn to a circle from an external point T{T} and touch the circle at P{P} and Q{Q} respectively, then
(i)TP=TQ{T}{P}={T}{Q} ,
(ii)a=b{a}={b} ,
(iii)c=d{c}={d} .
({(}tangent properties){)}

O{O}P{P}Q{Q}T{T}a{a}b{b}c{c}d{d}

(c){\left({c}\right)}A tangent-chord angle of a circle is equal to an angle in the alternate segment.
(i)a=b{a}={b}
(ii)c=d{c}={d}
({\left(\angle\right.} in alt.segment){)}

P{P}Q{Q}R{R}T{T}S{S}a{a}b{b}c{c}d{d}

Example

In the figure, PQ{P}{Q} and PR{P}{R} are tangents to the circle at A{A} and C{C} respectively. If CPA=46\angle{C}{P}{A}={46}^{\circ} and BAQ=63\angle{B}{A}{Q}={63}^{\circ} , find

(a)PCA\angle{P}{C}{A} ,
(b)OCA\angle{O}{C}{A} ,
(c)OCB\angle{O}{C}{B} .

Solution

(a)∵   PC=PA{P}{C}={P}{A}tangent properties
∴   PCA=PAC\angle{P}{C}{A}=\angle{P}{A}{C}base ∠s, isos. △
In PAC\triangle{P}{A}{C} ,
PCA+PAC+CPA\angle{P}{C}{A}+\angle{P}{A}{C}+\angle{C}{P}{A}=180={180}^{\circ}∠ sum of △
2PCA+46{2}\angle{P}{C}{A}+{46}^{\circ}=180={180}^{\circ}
PCA\angle{P}{C}{A}=67={67}^{\circ}
(b)OCP=90\angle{O}{C}{P}={90}^{\circ}tangent ⊥ radius
∵  OCA+PCA\angle{O}{C}{A}+\angle{P}{C}{A}=OCP=\angle{O}{C}{P}
∴  OCA+67\angle{O}{C}{A}+{67}^{\circ}=90={90}^{\circ}
OCA\angle{O}{C}{A}=23={23}^{\circ}
(c)BCA=BAQ=63\angle{B}{C}{A}=\angle{B}{A}{Q}={63}^{\circ}∠ in alt. segment
∵  OCB+OCA\angle{O}{C}{B}+\angle{O}{C}{A}=BCA=\angle{B}{C}{A}
∴  OCB+23\angle{O}{C}{B}+{23}^{\circ}=63={63}^{\circ}
OCB\angle{O}{C}{B}=40={40}^{\circ}


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