### Test for tangency

Question Sample Titled 'Test for tangency'

 ${\left({a}\right)}$ If ${P}{Q}$ $\bot$ ${O}{T}$ , then ${P}{Q}$ is the tangent to the circle at ${T}$. ${(}$converse of tangent $\bot$ radius${)}$ Note: the perpendicular to a tangent at its point of contact ${T}$ passes through the centre ${O}$ of the circle.

${O}$${T}$${P}$${Q}$

 ${\left({b}\right)}$ If ${b}$ $={a}$ , then ${P}{Q}$ is the tangent to the circle at ${T}$ . ${(}$converse of $\angle$ in alt. segment${)}$

${P}$${Q}$${R}$${T}$${a}$${b}$

 Example In the figure, ${A}$ , ${B}$ and ${C}$ are points on the circle such that ${A}{B}$ $={A}{C}$ . ${A}{B}$ is produced to ${T}$ and $\angle{B}{T}{C}={30}^{\circ}$ . If $\angle{B}{A}{C}={40}^{\circ}$ , prove that ${T}{C}$ is the tangent to the circle at ${C}$ .

 Solution In $\triangle{A}{B}{C}$ , ∵  ${A}{B}={A}{C}$ given ∴ $\angle{A}{B}{C}$ $=\angle{A}{C}{B}$ base ∠s, isos. △ $\angle{A}{B}{C}+\angle{A}{C}{B}+\angle{B}{A}{C}$ $={180}^{\circ}$ ∠ sum of △ ${2}\angle{A}{B}{C}+{40}^{\circ}$ $={180}^{\circ}$ $\angle{A}{B}{C}$ $={70}^{\circ}$ In $\triangle{B}{T}{C}$ , $\angle{B}{C}{T}$ $=\angle{A}{B}{C}-\angle{B}{T}{C}$ ext. ∠ of △  $={70}^{\circ}-{30}^{\circ}$  $={40}^{\circ}$ ∵   $\angle{B}{C}{T}=\angle{B}{A}{C}$ ∴  ${T}{C}$ is the tangent to the circle at ${C}$ . converse of ∠ in alt. segment

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