### Summation of geometric sequence

Question Sample Titled 'Summation of geometric sequence'

 Let ${a}$ and ${r}$ be the first term and the common ratio of a geometric sequence.

 (a) The sum of the first ${n}$ terms of the geometric sequence is given by: ${S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{{a}{\left({1}-{r}^{{n}}\right)}}}{{{1}-{r}}}$ or ${S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{{a}{\left({r}^{{n}}-{1}\right)}}}{{{r}-{1}}}$ , where ${r}\ne{1}$  (b) The sum to infinity of the geometric sequence is given by: ${S}{\left(\infty\right)}=\dfrac{{a}}{{{1}-{r}}}$ , where $-{1}<{r}<{1}$ Note: The sum of a geometric sequence is also called a geometric series.

 Given the geometric sequence ${32}$ , ${16}$ , ${8}$ , ${4}$ , ... , find 

 (a) the sum of the first ${7}$ terms, (b) the sum to infinity.

 Let ${a}$ and ${r}$ be the first term and the common ratio respectively. ${a}={32}$ and ${r}=\dfrac{{16}}{{32}}=\dfrac{{1}}{{2}}$

 (a) ${S}{\left({7}\right)}$  $=\dfrac{{{32}{\left[{1}-{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{7}}\right]}}}{{{1}-\dfrac{{1}}{{2}}}}$ ${S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{{a}{\left({1}-{r}^{{n}}\right)}}}{{{1}-{r}}}$  $=\dfrac{{127}}{{2}}$ (b) ${S}{\left(\infty\right)}$  $=\dfrac{{32}}{{{1}-\dfrac{{1}}{{2}}}}$ ${S}{\left(\infty\right)}=\dfrac{{a}}{{{1}-{r}}}$  $={64}$

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