### Sum and product of the roots of quadratic equations

Question Sample Titled 'Sum and product of the roots of quadratic equations'

 (a)  If $\alpha$ and $\beta$ are the roots of the quadratic equation ${a}{x}^{{2}}+{b}{x}+{c}={0}$ , where ${a}\ne{0}$ , then sum of roots  $=\alpha+\beta=-\dfrac{{b}}{{a}}$ product of roots  $=\alpha\beta=\dfrac{{c}}{{a}}$ (b) The quadratic equation in ${x}$ with roots $\alpha$ and $\beta$ can be written as: ${\left({x}-\alpha\right)}{\left({x}-\beta\right)}$ $={0}$ ${x}^{{2}}-{\left(\alpha+\beta\right)}{x}+\alpha\beta$ $={0}$ i.e. ${x}^{{2}}-{\left(\text{sum of roots}\right)}{x}+{\left(\text{product of roots}\right)}$ $={0}$

 Example If $\alpha$ and $\beta$ are the roots of the quadratic equation ${x}^{{2}}-{5}{x}+{1}={0}$ , (a) find the values of $\alpha+\beta$ and $\alpha\beta$ . (b) form a quadratic equation in ${x}$ whose roots are $\alpha-{1}$ and $\beta-{1}$ .

 Solution (a) $\alpha+\beta$ $=-\dfrac{{{\left(-{5}\right)}}}{{1}}={5}$ $\alpha\beta$ $=\dfrac{{1}}{{1}}={1}$ (b) For the required quadratic equatiion,  sum of roots $={\left[{\left(\alpha-{1}\right)}+{\left(\beta-{1}\right)}\right]}$  $={\left(\alpha+\beta\right)}-{2}$  $={5}-{2}$  $={3}$ product of roots $={\left[{\left(\alpha-{1}\right)}{\left(\beta-{1}\right)}\right]}$  $=\alpha\beta-{\left(\alpha+\beta\right)}+{1}$  $={1}-{5}+{1}$  $=-{3}$ ∴   The required quadratic equation is  ${x}^{{2}}-{\left({3}\right)}{x}+{\left(-{3}\right)}$ $={0}$ ${x}^{{2}}-{3}{x}-{3}$ $={0}$

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