Possible intersection between a straight line and a circle

Question Sample Titled 'Possible intersection between a straight line and a circle'

For the simultaneous equations

		${y}={m}{x}+{c}$
		${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{D}{x}+{E}{y}+{F}={0}$

	by subsitituting the equations of the straight line ${y}={m}{x}+{c}$ into the equation of the circle ${x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{D}{x}+{E}{y}+{F}={0}$ ,
	we can obtain the quadratic equation ${x}^{{2}}+{\left({m}{x}+{c}\right)}^{{2}}+{D}{x}+{E}{\left({m}{x}+{c}\right)}+{F}={0}$ .
	By considering the discriminant ${\left(\Delta\right)}$ of this equation, we have the following three cases:

Discriminant ${\left(\Delta={b}^{{2}}-{4}{a}{c}\right)}$	$\Delta\gt{0}$	$\Delta={0}$	$\Delta\lt{0}$
No. of intersections

Note:	${1}.$	If $\Delta={0}$ , then the straight line is a tangent to the circle.
	${2}.$	2. If the straight line is a tangent to the circle, then $\Delta={0}$ .

	Example
	Determine the number of intersections between the straight line ${L}$ : ${2}{x}+{3}{y}-{6}$		$={0}$ and the circle ${S}$ : ${x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{4}{x}+{2}{y}+{1}={0}$ .

Solution
${2}{x}+{3}{y}-{6}$	$={0}$	$\ldots{\left({1}\right)}$
${x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{4}{x}+{2}{y}+{1}$	$={0}$	$\ldots{\left({2}\right)}$
From ${\left({1}\right)}$ , we have
${y}$	$=-\dfrac{{2}}{{3}}{x}+{2}$	$\ldots{\left({3}\right)}$
By substituting ${\left({3}\right)}$ into ${\left({2}\right)}$ , we have
${x}^{{2}}+{\left(-\dfrac{{2}}{{3}}{x}+{2}\right)}^{{2}}-{4}{x}+{2}{\left(-\dfrac{{2}}{{3}}{x}+{2}\right)}+{1}$	$={0}$
${13}{x}^{{2}}-{72}{x}+{81}$	$={0}$
For the equation ${13}{x}^{{2}}-{72}{x}+{81}={0}$ ,
$\Delta={\left(-{72}\right)}^{{2}}-{4}{\left({13}\right)}{\left({81}\right)}={972}\gt{0}$
∴ There are two intersections between the straight line and the circle.

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