Operations of complex numbers

Question Sample Titled 'Operations of complex numbers'


Let a+bi{a}+{b}{i} and c+di{c}+{d}{i} be two complex numbers.

(a)Addition
(a+bi)+(c+di){\left({a}+{b}{i}\right)}+{\left({c}+{d}{i}\right)}=(a+c)+(b+d)i={\left({a}+{c}\right)}+{\left({b}+{d}\right)}{i}
(b)Subtraction
(a+bi)(c+di){\left({a}+{b}{i}\right)}-{\left({c}+{d}{i}\right)}=(ac)+(bd)i={\left({a}-{c}\right)}+{\left({b}-{d}\right)}{i}
(c)Multiplication
(a+bi)(c+di){\left({a}+{b}{i}\right)}{\left({c}+{d}{i}\right)}=(a+bi)(c)+(a+bi)(di)={\left({a}+{b}{i}\right)}{\left({c}\right)}+{\left({a}+{b}{i}\right)}{\left({d}{i}\right)}
=(acbd)+(ad+bc)i={\left({a}{c}-{b}{d}\right)}+{\left({a}{d}+{b}{c}\right)}{i}
(d)Division
a+bic+di\dfrac{{{a}+{b}{i}}}{{{c}+{d}{i}}}=a+bic+di×cdicdi=\dfrac{{{a}+{b}{i}}}{{{c}+{d}{i}}}\times\dfrac{{{c}-{d}{i}}}{{{c}-{d}{i}}}
=ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i=\dfrac{{{a}{c}+{b}{d}}}{{{c}^{{2}}+{d}^{{2}}}}+\dfrac{{{b}{c}-{a}{d}}}{{{c}^{{2}}+{d}^{{2}}}}{i}

Example
Simplify and express each of the following in the form a+bi{a}+{b}{i} .
(a)(23i)(1+4i){\left({2}-{3}{i}\right)}-{\left(-{1}+{4}{i}\right)}
(b)2i1i\dfrac{{{2}{i}}}{{{1}-{i}}}

Solution
(a)(23i)(1+4i){\left({2}-{3}{i}\right)}-{\left(-{1}+{4}{i}\right)}
=23i+14i={2}-{3}{i}+{1}-{4}{i}
=(2+1)+(34)i={\left({2}+{1}\right)}+{\left(-{3}-{4}\right)}{i}
=37i={3}-{7}{i}
(b)2i1i\dfrac{{{2}{i}}}{{{1}-{i}}}
=2i1i×1+i1+i=\dfrac{{{2}{i}}}{{{1}-{i}}}\times\dfrac{{{1}+{i}}}{{{1}+{i}}}
=2i+2i21i2=\dfrac{{{2}{i}+{2}{i}^{{2}}}}{{{1}-{i}^{{2}}}}(a+b)(ab)=a2b2{\left({a}+{b}\right)}{\left({a}-{b}\right)}={a}^{{2}}-{b}^{{2}}
=2i+2(1)1(1)=\dfrac{{{2}{i}+{2}{\left(-{1}\right)}}}{{{1}-{\left(-{1}\right)}}}i2=1{i}^{{2}}=-{1}
=2+2i2=\dfrac{{-{2}+{2}{i}}}{{2}}
=1+i=-{1}+{i}


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