Operations of complex numbers

Question Sample Titled 'Operations of complex numbers'

Let

{a}+{b}{i}

and

{c}+{d}{i}

be two complex numbers.

(a)	Addition
	${\left({a}+{b}{i}\right)}+{\left({c}+{d}{i}\right)}$	$={\left({a}+{c}\right)}+{\left({b}+{d}\right)}{i}$
(b)	Subtraction
	${\left({a}+{b}{i}\right)}-{\left({c}+{d}{i}\right)}$	$={\left({a}-{c}\right)}+{\left({b}-{d}\right)}{i}$
(c)	Multiplication
	${\left({a}+{b}{i}\right)}{\left({c}+{d}{i}\right)}$	$={\left({a}+{b}{i}\right)}{\left({c}\right)}+{\left({a}+{b}{i}\right)}{\left({d}{i}\right)}$
		$={\left({a}{c}-{b}{d}\right)}+{\left({a}{d}+{b}{c}\right)}{i}$
(d)	Division
	$\dfrac{{{a}+{b}{i}}}{{{c}+{d}{i}}}$	$=\dfrac{{{a}+{b}{i}}}{{{c}+{d}{i}}}\times\dfrac{{{c}-{d}{i}}}{{{c}-{d}{i}}}$
		$=\dfrac{{{a}{c}+{b}{d}}}{{{c}^{{2}}+{d}^{{2}}}}+\dfrac{{{b}{c}-{a}{d}}}{{{c}^{{2}}+{d}^{{2}}}}{i}$

	Example
	Simplify and express each of the following in the form ${a}+{b}{i}$ .
	(a)	${\left({2}-{3}{i}\right)}-{\left(-{1}+{4}{i}\right)}$
	(b)	$\dfrac{{{2}{i}}}{{{1}-{i}}}$

Solution
(a)	${\left({2}-{3}{i}\right)}-{\left(-{1}+{4}{i}\right)}$
	$={2}-{3}{i}+{1}-{4}{i}$
	$={\left({2}+{1}\right)}+{\left(-{3}-{4}\right)}{i}$
	$={3}-{7}{i}$
(b)	$\dfrac{{{2}{i}}}{{{1}-{i}}}$
	$=\dfrac{{{2}{i}}}{{{1}-{i}}}\times\dfrac{{{1}+{i}}}{{{1}+{i}}}$
	$=\dfrac{{{2}{i}+{2}{i}^{{2}}}}{{{1}-{i}^{{2}}}}$	${\left({a}+{b}\right)}{\left({a}-{b}\right)}={a}^{{2}}-{b}^{{2}}$
	$=\dfrac{{{2}{i}+{2}{\left(-{1}\right)}}}{{{1}-{\left(-{1}\right)}}}$	${i}^{{2}}=-{1}$
	$=\dfrac{{-{2}+{2}{i}}}{{2}}$
	$=-{1}+{i}$

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