Introduction to complex numbers

Question Sample Titled 'Introduction to complex numbers'


(a)Imaginary numbers
The square roots of negative numbers are called imaginary numbers.
(i)1\sqrt{{-{1}}} is denoted by i{i} , i.e. i=1{i}=\sqrt{{-{1}}}
(ii)11=1\sqrt{{-{1}}}\cdot\sqrt{{-{1}}}=-{1} , i.e. i2=1{i}^{{2}}=-{1}
(iii)For any positive real number, k=k1=k\sqrt{{-{k}}}=\sqrt{{{k}}}\cdot\sqrt{{-{1}}}=\sqrt{{{k}}} i{i}
(b)Complex numbers
A complex number is a number that can be written in the form a+bi{a}+{b}{i} , where a{a} and b{b} are real numbers and i=1{i}=\sqrt{{-{1}}} .
(i)a{a} is called the real part, while b{b} is called the imaginary part.
(ii)If two complex numbers a+bi{a}+{b}{i} and c+di{c}+{d}{i} are equal, then they have equal real parts and equal imaginary parts, i.e. a{a}=c={c} and b=d{b}={d} , and vice versa.
Note:Unlike real numbers, it is meaningless to determine which one of any two complex numbers is larger.

Example
Solve x22x+10{x}^{{2}}-{2}{x}+{10}=0={0} , and express your answers in the form a+bi{a}+{b}{i} .

Solution
Using the quadratic formula,
x{x}=(2)±(2)24(1)(10)2(1)=\dfrac{{-{\left(-{2}\right)}\pm\sqrt{{{\left(-{2}\right)}^{{2}}-{4}{\left({1}\right)}{\left({10}\right)}}}}}{{{2}{\left({1}\right)}}}
=2±362=\dfrac{{{2}\pm\sqrt{{-{36}}}}}{{2}}36=361=6i\sqrt{{-{36}}}=\sqrt{{36}}\cdot\sqrt{{-{1}}}={6}{i}
=2±6i2=\dfrac{{{2}\pm{6}{i}}}{{2}}
=1±3i={1}\pm{3}{i}
∴  x{x}=1+3i={1}+{3}{i} or x=13i{x}={1}-{3}{i}


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