### Common measures of dispersion

Question Sample Titled 'Common measures of dispersion'

 (a) Range For ungrouped data, range $=$ largest datum $-$ smallest datum For grouped data, range $=$ highest class boundary $-$ lowest class boundary (b) Inter-quartile range Inter-quartile range $=$ upper quartile ${\left({Q}_{{3}}\right)}-$ lower quartile ${\left({Q}_{{1}}\right)}$ (c)  Standard deviation For a data set${\left\lbrace{x}_{{1}}\right.}$ , ${x}_{{2}}$ , ${x}_{{3}}$, ... ${x}_{{N}}{\rbrace}$, with arithmetic mean $\overline{{x}}$ ,  standard deviation $\sigma$ $=\sqrt{{\dfrac{{{\left({x}_{{1}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}+{\left({x}_{{2}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left({x}_{{N}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}}}{{N}}}}$ For grouped data with class marks ${x}_{{1}}$ , ${x}_{{2}}$ , ${x}_{{3}}$, ... , ${x}_{{N}}$ , and corresponding frequencies ${{f}_{{1}}}$ , ${{f}_{{2}}}$ , ${{f}_{{3}}}$ , ... , ${{f}_{{N}}}$ ,  standard deviation $\sigma$ $=\sqrt{{\dfrac{{{\left({x}_{{1}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}{{f}_{{1}}+}{\left({x}_{{2}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}{{f}_{{2}}+}\ldots+{\left({x}_{{N}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}{f}_{{N}}}}{{{{f}_{{1}}+}{{f}_{{2}}+}\ldots+{f}_{{N}}}}}}$

 Find the range, the inter-quartile range and the standard deviation of the data set ${\left\lbrace{44}\right.}$ , ${45}$ , ${50}$ , ${53}$ , ${78}{\rbrace}$ . (Give your answers correct to ${3}$ significant figures if necessary. )

 Range$={78}-{44}={34}$ Inter-quartile range$=\dfrac{{{53}+{78}}}{{2}}-\dfrac{{{44}+{45}}}{{2}}={21}$ $\overline{{x}}=\dfrac{{1}}{{5}}{\left({44}+{45}+{50}+{53}+{78}\right)}={54}$ $\sigma=\sqrt{{\dfrac{{1}}{{5}}{\left[{\left({44}-{54}\right)}^{{2}}+{\left({45}-{54}\right)}^{{2}}+{\left({50}-{54}\right)}^{{2}}+{\left({53}-{54}\right)}^{{2}}+{\left({78}-{54}\right)}^{{2}}\right]}}}={12.4}$ (cor. to ${3}$ sig. fig.)

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