Common measures of dispersion

Question Sample Titled 'Common measures of dispersion'


(a)Range
For ungrouped data,
range == largest datum - smallest datum
For grouped data,
range == highest class boundary - lowest class boundary
(b)Inter-quartile range
Inter-quartile range == upper quartile (Q3){\left({Q}_{{3}}\right)}- lower quartile (Q1){\left({Q}_{{1}}\right)}
(c) Standard deviation
For a data set{x1{\left\lbrace{x}_{{1}}\right.} , x2{x}_{{2}} , x3{x}_{{3}}, ... xN}{x}_{{N}}{\rbrace}, with arithmetic mean x\overline{{x}} ,
standard deviation σ\sigma=(x1x)2+(x2x)2++(xNx)2N=\sqrt{{\dfrac{{{\left({x}_{{1}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}+{\left({x}_{{2}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}+\ldots+{\left({x}_{{N}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}}}{{N}}}}
For grouped data with class marks x1{x}_{{1}} , x2{x}_{{2}} , x3{x}_{{3}}, ... , xN{x}_{{N}} , and corresponding frequencies f1{{f}_{{1}}} , f2{{f}_{{2}}} , f3{{f}_{{3}}} , ... , fN{{f}_{{N}}} ,
standard deviation σ\sigma=(x1x)2f1+(x2x)2f2++(xNx)2fNf1+f2++fN=\sqrt{{\dfrac{{{\left({x}_{{1}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}{{f}_{{1}}+}{\left({x}_{{2}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}{{f}_{{2}}+}\ldots+{\left({x}_{{N}}-\overline{{x}}\right)}^{{2}}{f}_{{N}}}}{{{{f}_{{1}}+}{{f}_{{2}}+}\ldots+{f}_{{N}}}}}}

例子

Find the range, the inter-quartile range and the standard deviation of the data set {44{\left\lbrace{44}\right.} , 45{45} , 50{50} , 53{53} , 78}{78}{\rbrace} .
(Give your answers correct to 3{3} significant figures if necessary. )

題解

Range=7844=34={78}-{44}={34}
Inter-quartile range=53+78244+452=21=\dfrac{{{53}+{78}}}{{2}}-\dfrac{{{44}+{45}}}{{2}}={21}
x=15(44+45+50+53+78)=54\overline{{x}}=\dfrac{{1}}{{5}}{\left({44}+{45}+{50}+{53}+{78}\right)}={54}
σ=15[(4454)2+(4554)2+(5054)2+(5354)2+(7854)2]=12.4\sigma=\sqrt{{\dfrac{{1}}{{5}}{\left[{\left({44}-{54}\right)}^{{2}}+{\left({45}-{54}\right)}^{{2}}+{\left({50}-{54}\right)}^{{2}}+{\left({53}-{54}\right)}^{{2}}+{\left({78}-{54}\right)}^{{2}}\right]}}}={12.4} (cor. to 3{3} sig. fig.)


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