Application of standard deviation

Question Sample Titled 'Application of standard deviation'


(a)Standard score
For a set of data with mean x\overline{{x}} and standard deviation σ\sigma, the standard score z{z} of a given datum x{x} is given by z=xxσ{z}=\dfrac{{{x}-\overline{{x}}}}{\sigma} .
(b)Normal distribution
Characteristics of a normal curve:
1.{1}.It is bell-shaped.
2.{2}.It has reflectional symmetry about x=x.{x}=\overline{{x}}.
3.{3}.The mean, median and mode are all equal to x.\overline{{x}}.

Example 1{1}
Based on the information given in the table below, in which test does Peter perform better? Briefly explain your answer.

Test 1{1}Test 2{2}
Peter's marks66{66}75{75}
Mean of the class60{60}70{70}
Standard deviation of the class6{6}8{8}

Solution
For test 1{1} , z=66606=1{z}=\dfrac{{{66}-{60}}}{{6}}={1}
For test 2{2} , z=75708=0.625{z}=\dfrac{{{75}-{70}}}{{8}}={0.625}
∵   standard score of test 1{1}>> standard score of test2{2}
∴   Peter performs better in test 1{1} .

x{x}99.7%{99.7}\%95%{95}\%68%{68}\%x3σ\overline{{x}}-{3}\sigmax2σ\overline{{x}}-{2}\sigmaxσ\overline{{x}}-\sigmax\overline{{x}}x+σ\overline{{x}}+\sigmax+2σ\overline{{x}}+{2}\sigmax+3σ\overline{{x}}+{3}\sigma

Example 2{2}
The heights of 120{120} children in a kindergarten are normally distributed with a mean of 85{85} cm\text{cm} and a standard deviation of 5.5{5.5} cm\text{cm}.

(a)Find the percentage of children with heights between 79.5{79.5} cm\text{cm} and 90.5{90.5} cm\text{cm}.
(b)Find the number of children who are taller than 74{74} cm\text{cm}.

Solution

(a)Let the mean and standard deviation be μ\mu and σ\sigma respectively.
μ=85\mu={85} cm\text{cm} and σ=5.5\sigma={5.5} cm\text{cm}
79.5{79.5} cm=85\text{cm}={85} cm5.5\text{cm}-{5.5} cm=μσ\text{cm}=\mu-\sigma
90.5{90.5} cm=85\text{cm}={85} cm+5.5\text{cm}+{5.5} cm=μ+σ\text{cm}=\mu+\sigma
∴   The required percentage =68%={68}\%
(b)74{74} cm=85\text{cm}={85} cm2(5.5)\text{cm}-{2}{\left({5.5}\right)} cm=μ2σ\text{cm}=\mu-{2}\sigma
The percentage of children taller than74{74} cm\text{cm}
=(952+50)%=97.5%={\left(\dfrac{{95}}{{2}}+{50}\right)}\%={97.5}\%
∴   The required number of children
=120×97.5%={120}\times{97.5}\%
=117={117}


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