主題為「關於內心及外心以求圓與切線的相交點、圓的直角坐標系統」的題目樣本
為一鈍角三角形。將 的內心及外心分別記為 及 。已知 , 與 共線。
(a) | 證明 | . | (3 分) | |||||||
(b) | 引入一直角坐標系統使得 及 的坐標分別為 及 ,而 的 坐標為 。設 為通過 、 及 的圓。 | |||||||||
(i) | 求 的方程。 | |||||||||
(ii) | 設 及 為 的兩切線使得每一切線的斜率均為 且 的 截距較 大。 分別與 軸及 軸相交於 及 ,而 分別與 軸及 軸相交於 及 。某人宣稱梯形 的面積超過 。該宣稱是否正確?試解釋你的答案。 | |||||||||
(9 分) |
(a) | 如下圖所示,當中 及 分別為 及 的垂直平分線。 | |||||||||
考慮 及 , | ||||||||||
內心的定義 | ||||||||||
common | ||||||||||
∠ sum of △ | ||||||||||
∴ | ASA | |||||||||
∴ | corr. sides, ≅△s | |||||||||
(a) 評分標準: | ||||||||||
情況 1 | 附有正確理由的正確完整證明。 | 3M | ||||||||
情況 2 | 未附有正確理由的正確完整證明。 | 2M | ||||||||
情況 3 | 未附有正確理由的部分完整證明。 | 1M | ||||||||
注意:任何基於 為共線的假設的證明應予零分。 | ||||||||||
(b)(i) | ||||||||||
設 的坐標為 。 | ||||||||||
已證明 | ||||||||||
1M | 給利用 (a) 的結果 | |||||||||
∴ 的坐標為 。 | 1A | |||||||||
設 的方程為 。 | 1M | 給代入 , 及 | ||||||||
把 代入至 的方程中, | ||||||||||
把 及 分別代入至 的方程中, | ||||||||||
![]() | ||||||||||
![]() | ||||||||||
解後可得 及 。 | ||||||||||
∴ 的方程為 | 。 | 1A | 或等價 | |||||||
(b)(ii) | ||||||||||
分別設 及 的 截距為 。 | ||||||||||
![]() | ||||||||||
代 至 中: | ||||||||||
由於 及 為 的切線,因此 只有一個重根。 | ||||||||||
的判別式 | ||||||||||
或 | ||||||||||
因此, | 2M | 給 及 的方程 | ||||||||
∴ | 1A | 給四點 | ||||||||
的面積 | ||||||||||
的面積 的面積 | 接受其他分割的方法 | |||||||||
接受答案準確至 | ||||||||||
因此,同意該宣稱。 | 1A | |||||||||
下圖所示為該坐標系統,為了方便展示,該圖像並不依比例繪成。 |
(a) | 注意到 為 的外心。 | |||||||||
連接 及 。 | ||||||||||
radii | ||||||||||
內心的定義 | ||||||||||
∴ | base ∠s, isos. △ | |||||||||
考慮 及 , | ||||||||||
已證 | ||||||||||
已證 | ||||||||||
common | ||||||||||
∴ | AAS | |||||||||
∴ | corr. sides, ≅△s | |||||||||
(a) 評分標準: | ||||||||||
情況 1 | 附有正確理由的正確完整證明。 | 3M | ||||||||
情況 2 | 未附有正確理由的正確完整證明。 | 2M | ||||||||
情況 3 | 未附有正確理由的部分完整證明。 | 1M | ||||||||
注意:任何基於 為共線的假設的證明應予零分。 | ||||||||||
(b)(i) | ||||||||||
設 的坐標為 。 | ||||||||||
已證明 | ||||||||||
1M | 給利用 (a) 的結果 | |||||||||
∴ 的坐標為 。 | 1A | |||||||||
設 為圓 的中心。 | ||||||||||
設 及 的垂直平分線分別為 及 。 | ||||||||||
由於 及 ,兩線均必穿過 。 | 圓心平分且垂直弦穿過圓心 | |||||||||
透過解下列聯立方程,可求得 的坐標。 | ||||||||||
![]() | ||||||||||
![]() | 1M | 給正確解圓 中心的方法 | ||||||||
![]() | ||||||||||
解後,可得 。 | ||||||||||
∴ 的坐標為 。 | ||||||||||
的方程為 | ||||||||||
1A | 或等價 | |||||||||
(b)(ii) | ||||||||||
由 (b)(i) | ||||||||||
圓 的半徑 | ||||||||||
留意到 的斜率等同於 及 的斜率。 | ||||||||||
因此, 為圓 在 的切線。 | ||||||||||
的方程為 | ||||||||||
設 為一在 上的點使得 為圓 的一直徑。 | ||||||||||
及 | mid-pt. theorem | |||||||||
及 | ||||||||||
的方程為 | ||||||||||
2M | 給 及 | |||||||||
∴ | 1A | 給四點 | ||||||||
梯形 的面積 | ||||||||||
= 的直徑 | 1A | f.t. | ||||||||
接受答案準確至 | ||||||||||
因此,同意該宣稱。 | 1A | |||||||||
下圖所示為該坐標系統,為了方便展示,該圖像並不依比例繪成。 |
Premium DSE Preparation Plan
專攻 DSE 數學科,助你高效穩固地提昇評級
Level 4+ 保證及 5** 獎賞
僅中四至中六適用
最優化操練路線
一站滿足所有操數需要
豐富全面溫習套裝及備試工具
首 14 日無條件全額退款
想了解更多有關 ePractice?按這裡下載小冊子!
核心服務 Core Service
無限量「極效練習」、「集中式練習」
查看所有模擬試卷(卷一)題目,包括歷屆試題
無限次進行網上模擬試卷(卷二)
查看所有溫習資源
詳細能力分析及等級預測
專人跟進 Follow-up Service
ePractice 會以電郵、Whatsapp 及電話提醒練習
您可以隨時電郵或 Whatsapp 查詢平台疑難及數學問題,不限次數
ePractice 會定期提供溫習建議
保證 Guarantee
Level 5** 獎勵:會員如在 DSE 取得數學 Level 5** ,將獲贈一套飛往英國、美國或者加拿大的來回機票,唯會員須在最少 180 日內每天在平台上答對 3 題 MCQ。
Level 4 以下賠償:會員如在 DSE 未能達到數學 Level 4 ,我們將會全額退回所有會費,唯會員須在最少 180 日內每天在平台上答對 3 題 MCQ。
會藉啟動後 14 日內,可以無條件退款(私人補習費除外)。
贈品 Gift
模擬試卷(八份):建議於 DSE 前四個月內每兩星期做一份。將於考試四個月前寄給閣下,無需額外運費(限於香港境內)
必背公式表:A4 雙面公式表,印有中一至中六最關鍵的數學知識,對溫習非常有幫助。將於考試四個月前與模擬試卷一同寄給閣下。
平台遊戲贈禮:會藉啟動時,可獲練習平台上 500,000 金幣及 5,000 鑽石!
有英文版嗎?
有。請在畫面頂部按「用戶」,再按「設定」。在語言選項中,你可分別選擇「平台語言」及「數學語言」,兩者皆有中英文版。
ePractice 是甚麼?
ePractice 是一個專為中四至中六而設的網站應用程式,旨為協助學生高效地預備 DSE 數學(必修部分)考試。由於 ePractice 是網站應用程式,因此無論使用任何裝置、平台,都可以在瀏覽器開啟使用。更多詳情請到簡介頁面。
ePractice 可以取代傳統補習嗎?
雖然 ePractice 不能百份之一百取代傳統補習(包括補習班及私人補習),但可以絕大程度上取代補習服務,因為 ePractice 除了能為你度身訂造練習順序外,更設有短片真人教學,費用還遠低於傳統補習!
為甚麼適合中四至中六學生?
由於正式考試(DSE 數學必修部分)有三分之二(約 67%)的內容是初中程度,因此中四學生已經可以操練大部分的試題。早些開始操練,不但可以早一步掌握考試技巧,更可同時鞏固初中的知識,幫助理解高中數學。ePractice 建議學生只需每天操練約 3-5 題,非常輕鬆,也不需花大量時間,已經可以在不知不覺間高效提昇數學能力了。
有甚麼付款方式?
閣下可使用 PayPal / 信用卡 / Wechat Pay / AlipayHK / 銀行存款機(毋須任何戶口,只需現金)/ 銀行櫃位入帳(毋須任何戶口,只需現金)/ 轉帳(需要銀行戶口)/ PayMe / Faster Payment System (FPS) 付款。 在確定訂單及揀選付款方式後,會有進一步的流程解說。
可以退款嗎?
除了下列特殊情況外,在 ePractice 選購任何會員服務,均享 14 天無條件退款保證。閣下只須向我們聯絡並提供相關訂單編號即可。如果您使用 PayPal 付款,我們會把款項退回您的信用卡。如果您使用其他付款方式,則請提供您的銀行帳號 / FPS ID / PayMe ID,讓我們把退款轉帳給您。
只有以下兩種特殊情況下退款是不允許的:
甚麼時候會啟動會員服務?
如果您使用 PayPal 成功交易,您的會員服務會立即啟動;而使用轉帳、存款機或銀行入帳付款,則須先把收據發送給我們,我們會在兩個工作天(星期一至五)內核對並啟動您的會員服務。
甚麼時候會收到貨品?
我們會於售後聯絡閣下商討安排,包括送貨地址、聯絡人名稱等等,確定送貨資料後,我們立即寄出郵件,一般會於七個工作天(通常更短)內送達。請留意,如果閣下未設定電郵或電話號碼,則我們只能在平台上聯絡你。
我不想透露私人地址,可以選擇其他收貨地址嗎?
可以。您可以選擇指定便利店、順豐站、智能櫃或油站取件,請按這裡前往有效的地址清單,預先選定方便您的位置取件。
HKDSE 數學試題練習平台
Powered by ePractice
ePractice
HKDSE 試題導向練習平台
「孤獨的人有他們自己的泥沼。」