長方錐體內兩平面的夾角

主題為「長方錐體內兩平面的夾角」的題目樣本

題目

圖中, VABCD{V}{A}{B}{C}{D} 是一底為長方形的錐體。 VAD{V}{A}{D}VBC{V}{B}{C} 為兩個等腰三角形,其中 VA=VD{V}{A}={V}{D}VB=VC{V}{B}={V}{C} 。已知 VD=145{V}{D}={145} m\text{m}VB=135{V}{B}={135} m\text{m}BC=100{B}{C}={100} m\text{m}CD=80{C}{D}={80} m\text{m} 。求 VAD{V}{A}{D}VBC{V}{B}{C} 之間的夾角,答案準確至最接近的 0.1{0.1}^{\circ}

B{B}C{C}D{D}V{V}A{A}100{100} m\text{m}80{80} m\text{m}135{135} m\text{m}145{145} m\text{m}
A
35.3{35.3}^{\circ}
B
47.6{47.6}^{\circ}
C
33.0{33.0}^{\circ}
D
58.5{58.5}^{\circ}
題解

AD{A}{D}BC{B}{C} 上分別加上點 H{H}K{K} 使得 VHAD{V}{H}\bot{A}{D}VKBC{V}{K}\bot{B}{C}

B{B}C{C}D{D}V{V}A{A}100{100} m\text{m}80{80} m\text{m}135{135} m\text{m}145{145} m\text{m}H{H}K{K}

留意所求的角是 HVK\angle{H}{V}{K}
VKB\triangle{V}{K}{B} 中,
VB2{V}{B}^{{2}}=VK2+BK2={V}{K}^{{2}}+{B}{K}^{{2}}Pyth. theorem
VK{V}{K}=1352(1002)2=\sqrt{{{135}^{{2}}-{\left(\dfrac{{100}}{{2}}\right)}^{{2}}}}
=5629={5}\sqrt{{{629}}}
同樣地,
VH{V}{H}=5741={5}\sqrt{{{741}}}
HVK\triangle{H}{V}{K} 中,由餘弦公式,
cosHVK{\cos}\angle{H}{V}{K}=VH2+VK2HK22VHVK=\dfrac{{{V}{H}^{{2}}+{V}{K}^{{2}}-{H}{K}^{{2}}}}{{{2}\cdot{V}{H}\cdot{V}{K}}}
=(5629)2+(5741)2802256295741=\dfrac{{{\left({5}\sqrt{{{629}}}\right)}^{{2}}+{\left({5}\sqrt{{{741}}}\right)}^{{2}}-{80}^{{2}}}}{{{2}\cdot{5}\sqrt{{{629}}}\cdot{5}\sqrt{{{741}}}}}
HVK\angle{H}{V}{K}=35.32655987107042={35.32655987107042}^{\circ}



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