錐體、平截頭體及半圓球體的體積

主題為「錐體、平截頭體及半圓球體的體積」的題目樣本

題目

圖 (a) 顯示底半徑為 108{108} cm\text{cm} 及高為 62{62} cm\text{cm} 的實心直立圓錐體。

62cm{62}\text{cm}108cm{108}\text{cm}圖 (a)圖 (b)

(a)求該圓錐體的體積,答案以 π\pi 表示。(2 分)
(b)把半徑為 117{117} cm\text{cm} 的半球形容器垂置於一水平面上。該容器載滿油。(5 分)
(i)求該容器內油的體積,答案以 π\pi 表示。
(i)現把該圓錐體鉛垂置於該容器內,如圖 (b) 所示。Sabrina宣稱剩下在該容器內的油的體積大於 2.6{2.6} m3\text{m}^{{3}} 你是否同意?試解釋你的答案。

題解

(a)所求的體積=13π(108)2(62)=\dfrac{{1}}{{3}}\pi{\left({108}\right)}^{{2}}{\left({62}\right)}1M
=241056π={241056}\pi cm3\text{cm}^{{3}}1A
(b)(i)所求的體積=43π(117)312=\dfrac{{4}}{{3}}\pi{\left({117}\right)}^{{3}}\cdot\dfrac{{1}}{{2}}1M
=1067742π={1067742}\pi cm3\text{cm}^{{3}}1A
(b)(ii)在油表面下的平截頭體的高度
=11721082=\sqrt{{{117}^{{2}}-{108}^{{2}}}}1M
=45={45} cm\text{cm}
剩下在該容器內的油的體積
=1067742π(241056π(1(624562)3))={1067742}\pi-{\left({241056}\pi{\left({1}-{\left(\dfrac{{{62}-{45}}}{{62}}\right)}^{{3}}\right)}\right)}1M
=105620215127π=\dfrac{{105620215}}{{127}}\pi cm3\text{cm}^{{3}}
=2.6127219804039803={2.6127219804039803} m3\text{m}^{{3}}
>2.6>{2.6} m3\text{m}^{{3}}
因此,同意該宣稱。1A



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