遊戲裡的組合、排列及概率

主題為「遊戲裡的組合、排列及概率」的題目樣本

題目

某遊戲進行時,在每一個回合,一些軟球將隨機地逐一掉進一個杯中。遊戲裡有nine個杯,呈環形擺放,如圖所示。假設每一個軟球掉中任何一個杯的概率都相等。每一個杯最多可以容納 5{5} 個軟球。

玩家可以選擇下列其中一項遊戲方式。

方式一:Three個軟球逐一掉下。若three個軟球掉進相同的杯中,玩家可獲得 120{120} 粒糖果。若three個軟球粒糖果別掉進three個不同的杯,玩家可得 60{60} 粒糖果。否則,玩家不獲糖果。
方式二:Four個軟球逐一掉下。若所有軟球掉進相同的杯,玩家可獲得 270{270} 粒糖果。若其中three個掉進相同的杯中,玩家可獲得 150{150} 粒糖果。若four個軟球掉進four個相鄰的杯中,玩家可獲得 90{90} 粒糖果。否則,玩家不獲糖果。

(a)若玩家選擇方式一,求他的糖果數量期望值。(3 分)
(b)玩家應選擇哪個方式,以取得較高的糖果數量期望值?試解釋你的答案。(4 分)
(c)Amber選擇了糖果數量期望值較大的遊戲方式,並進行了two回合遊戲。她認為她的總糖果數量為零的概率少於 0.09{0.09} 你是否同意?試解釋你的答案。(2 分)

題解

(a)P({P}{(}相同的杯){)}=1×19×19=181={1}\times\dfrac{{1}}{{9}}\times\dfrac{{1}}{{9}}=\dfrac{{1}}{{81}}1A
P({P}{(}3個不同的杯){)}=1×89×79=5681={1}\times\dfrac{{8}}{{9}}\times\dfrac{{7}}{{9}}=\dfrac{{56}}{{81}}1A
糖果數量期望值=181×120+5681×60=\dfrac{{1}}{{81}}\times{120}+\dfrac{{56}}{{81}}\times{60}
=116027=\dfrac{{1160}}{{27}}1A
(b)對於方式二,
P({P}{(}相同的杯){)}=1×19×19×19=1729={1}\times\dfrac{{1}}{{9}}\times\dfrac{{1}}{{9}}\times\dfrac{{1}}{{9}}=\dfrac{{1}}{{729}}
P({P}{(}3個不同的杯){)}=C34(1×89×19×19)={{C}_{{3}}^{{4}}}{\left({1}\times\dfrac{{8}}{{9}}\times\dfrac{{1}}{{9}}\times\dfrac{{1}}{{9}}\right)}1A
=32729=\dfrac{{32}}{{729}}
P({P}{(}4個相鄰的杯){)}=9P44(19)4={9}{{P}_{{4}}^{{4}}}{\left(\dfrac{{1}}{{9}}\right)}^{{4}}1A
=8243=\dfrac{{8}}{{243}}
糖果數量期望值=1729×270+32729×150+8243×90=\dfrac{{1}}{{729}}\times{270}+\dfrac{{32}}{{729}}\times{150}+\dfrac{{8}}{{243}}\times{90}1M
=2410243=\dfrac{{2410}}{{243}}
<116027<\dfrac{{1160}}{{27}}
方式一的糖果期望值較高。
因此,應選擇方式一。1A
(c)對於方式一,
P({P}{(}在一回合沒得糖果){)}=11815681={1}-\dfrac{{1}}{{81}}-\dfrac{{56}}{{81}}
=827=\dfrac{{8}}{{27}}
P({P}{(}在2回合內均沒得糖果){)}=(827)2={\left(\dfrac{{8}}{{27}}\right)}^{{2}}1M
=0.0877914951989026={0.0877914951989026}
<0.09<{0.09}
因此,同意Amber。1A



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