遊戲裡的組合、排列及概率

主題為「遊戲裡的組合、排列及概率」的題目樣本

題目

某遊戲進行時，在每一個回合，一些軟球將隨機地逐一掉進一個杯中。遊戲裡有nine個杯，呈環形擺放，如圖所示。假設每一個軟球掉中任何一個杯的概率都相等。每一個杯最多可以容納 ${5}$ 個軟球。

杯

玩家可以選擇下列其中一項遊戲方式。

方式一：	Three個軟球逐一掉下。若three個軟球掉進相同的杯中，玩家可獲得 ${120}$ 粒糖果。若three個軟球粒糖果別掉進three個不同的杯，玩家可得 ${60}$ 粒糖果。否則，玩家不獲糖果。
方式二：	Four個軟球逐一掉下。若所有軟球掉進相同的杯，玩家可獲得 ${270}$ 粒糖果。若其中three個掉進相同的杯中，玩家可獲得 ${150}$ 粒糖果。若four個軟球掉進four個相鄰的杯中，玩家可獲得 ${90}$ 粒糖果。否則，玩家不獲糖果。

(a)	若玩家選擇方式一，求他的糖果數量期望值。	(3 分)
(b)	玩家應選擇哪個方式，以取得較高的糖果數量期望值？試解釋你的答案。	(4 分)
(c)	Amber選擇了糖果數量期望值較大的遊戲方式，並進行了two回合遊戲。她認為她的總糖果數量為零的概率少於 ${0.09}$ 你是否同意？試解釋你的答案。	(2 分)

題解

(a)	${P}{(}$ 相同的杯 ${)}$	$={1}\times\dfrac{{1}}{{9}}\times\dfrac{{1}}{{9}}=\dfrac{{1}}{{81}}$	1A
	${P}{(}$ 3個不同的杯 ${)}$	$={1}\times\dfrac{{8}}{{9}}\times\dfrac{{7}}{{9}}=\dfrac{{56}}{{81}}$	1A
	糖果數量期望值	$=\dfrac{{1}}{{81}}\times{120}+\dfrac{{56}}{{81}}\times{60}$
		$=\dfrac{{1160}}{{27}}$	1A

(b)	對於方式二，
	${P}{(}$ 相同的杯 ${)}$	$={1}\times\dfrac{{1}}{{9}}\times\dfrac{{1}}{{9}}\times\dfrac{{1}}{{9}}=\dfrac{{1}}{{729}}$
	${P}{(}$ 3個不同的杯 ${)}$	$={{C}_{{3}}^{{4}}}{\left({1}\times\dfrac{{8}}{{9}}\times\dfrac{{1}}{{9}}\times\dfrac{{1}}{{9}}\right)}$	1A
		$=\dfrac{{32}}{{729}}$
	${P}{(}$ 4個相鄰的杯 ${)}$	$={9}{{P}_{{4}}^{{4}}}{\left(\dfrac{{1}}{{9}}\right)}^{{4}}$	1A
		$=\dfrac{{8}}{{243}}$
	糖果數量期望值	$=\dfrac{{1}}{{729}}\times{270}+\dfrac{{32}}{{729}}\times{150}+\dfrac{{8}}{{243}}\times{90}$	1M
		$=\dfrac{{2410}}{{243}}$
		$<\dfrac{{1160}}{{27}}$
	方式一的糖果期望值較高。
	因此，應選擇方式一。		1A
(c)	對於方式一，
	${P}{(}$ 在一回合沒得糖果 ${)}$	$={1}-\dfrac{{1}}{{81}}-\dfrac{{56}}{{81}}$
		$=\dfrac{{8}}{{27}}$
	${P}{(}$ 在2回合內均沒得糖果 ${)}$	$={\left(\dfrac{{8}}{{27}}\right)}^{{2}}$	1M
		$={0.0877914951989026}$
		$<{0.09}$
	因此，同意Amber。		1A

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為甚麼適合中四至中六學生？

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