透過考慮兩點在圓上的垂直平分線以求該圓的方程

主題為「透過考慮兩點在圓上的垂直平分線以求該圓的方程」的題目樣本

題目

P{P} 及點 Q{Q} 的坐標分別為 (4,7){\left({4},-{7}\right)}(6,5){\left({6},-{5}\right)}

(a)L{L}PQ{P}{Q} 的垂直平分線。
(i)L{L} 的方程。
(ii)假定 G{G}L{L} 上的一點。將 G{G}x{x} 坐標記為 h{h} 。設 C{C} 為一圓,其圓心為 G{G} 且通過 P{P}Q{Q}
證明 C{C} 的方程為 x2+y22hx+(2h+2)y+(22h51)=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{h}{x}+{\left({2}{h}+{2}\right)}{y}+{\left({22}{h}-{51}\right)}={0}
(6 分)
(b)R{R} 的坐標為 (22,7){\left(-{22},-{7}\right)} 。利用 (a)(ii) ,或其他方法,求通過 P{P}Q{Q}R{R} 的圓的直徑。(3 分)

題解

(a)(i)PQ{P}{Q} 的中點
=(5,6)={\left({5},-{6}\right)}
PQ{P}{Q} 的斜率
=5+764=\dfrac{{-{5}+{7}}}{{{6}-{4}}}1M
=1={1}
L{L} 的斜率
=1÷(1)=-{1}\div{\left({1}\right)}
=1=-{1}
L{L} 的方程為
y+6=1(x5){y}+{6}=-{1}{\left({x}-{5}\right)}1M
y=x1{y}=-{x}-{1}1A或等價
(a)(ii)k{k}G{G}y{y} 坐標。
藉 (a)(i) ,可得 k=h1{k}=-{h}-{1} .1M
故此, G{G} 的坐標為 (h,h1){\left({h},-{h}-{1}\right)}
C{C} 的方程為
(xh)2+[y(h1)]2{\left({x}-{h}\right)}^{{2}}+{\left[{y}-{\left(-{h}-{1}\right)}\right]}^{{2}}=(4h)2+[7(h1)]2={\left({4}-{h}\right)}^{{2}}+{\left[-{7}-{\left(-{h}-{1}\right)}\right]}^{{2}}1M
(xh)2(4h)2{\left({x}-{h}\right)}^{{2}}-{\left({4}-{h}\right)}^{{2}}=[7(h1)]2[y(h1)]2={\left[-{7}-{\left(-{h}-{1}\right)}\right]}^{{2}}-{\left[{y}-{\left(-{h}-{1}\right)}\right]}^{{2}}
(x2h+4)(x4){\left({x}-{2}{h}+{4}\right)}{\left({x}-{4}\right)}=[7+y2(h1)](y7)={\left[-{7}+{y}-{2}{\left(-{h}-{1}\right)}\right]}{\left(-{y}-{7}\right)}a2+b2=(a+b)(ab){a}^{{2}}+{b}^{{2}}={\left({a}+{b}\right)}{\left({a}-{b}\right)}
x22hx+4x4x+8h16{x}^{{2}}-{2}{h}{x}+{4}{x}-{4}{x}+{8}{h}-{16}=7yy2+2(h1)y+497y+14(h1)={7}{y}-{y}^{{2}}+{2}{\left(-{h}-{1}\right)}{y}+{49}-{7}{y}+{14}{\left(-{h}-{1}\right)}
x22hx+8h16{x}^{{2}}-{2}{h}{x}+{8}{h}-{16}=y2+2(h1)y+49+14(h1)=-{y}^{{2}}+{2}{\left(-{h}-{1}\right)}{y}+{49}+{14}{\left(-{h}-{1}\right)}
x2+y22hx2(h1)y+8h164914(h1)=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{h}{x}-{2}{\left(-{h}-{1}\right)}{y}+{8}{h}-{16}-{49}-{14}{\left(-{h}-{1}\right)}={0}
x2+y22hx+(2h+2)y+(22h51)=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{h}{x}+{\left({2}{h}+{2}\right)}{y}+{\left({22}{h}-{51}\right)}={0}1A
(b)把通過 P{P} , Q{Q}R{R} 的圓記為 C{C}
留意到 C{C} 的圓心在 PQ{P}{Q} 的垂直平分線上。
h{h}C{C} 的圓心的 x{x} 坐標。
藉 (a)(ii),代入(22,7){\left(-{22},-{7}\right)} 後可得
(22)2+(7)22(h)(22)+(2h+2)(7)+(22h51)=0{\left(-{22}\right)}^{{2}}+{\left(-{7}\right)}^{{2}}-{2}{\left({h}\right)}{\left(-{22}\right)}+{\left({2}{h}+{2}\right)}{\left(-{7}\right)}+{\left({22}{h}-{51}\right)}={0}1M給利用 (a)(ii)
解後可得 h=9{h}=-{9}
故此, C{C} 的方程為 x2+y2+18x16y249{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{18}{x}-{16}{y}-{249}=0={0}
所求的直徑
=2(182)2+(162)2(249)={2}\sqrt{{{\left(\dfrac{{18}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(-\dfrac{{16}}{{2}}\right)}^{{2}}-{\left(-{249}\right)}}}1M
=2394={2}\sqrt{{{394}}}1A

其他方法

(a)(i)L{L} 的坐標為
(x4)2+(y+7)2{\left({x}-{4}\right)}^{{2}}+{\left({y}+{7}\right)}^{{2}}=(x6)2+(y+5)2={\left({x}-{6}\right)}^{{2}}+{\left({y}+{5}\right)}^{{2}}2M1M+1M
x28x+16+y2+14y+49{x}^{{2}}-{8}{x}+{16}+{y}^{{2}}+{14}{y}+{49}=x212x+36+y2+10y+25={x}^{{2}}-{12}{x}+{36}+{y}^{{2}}+{10}{y}+{25}
4x+4y+4{4}{x}+{4}{y}+{4}=0={0}
y{y}=x1=-{x}-{1}1A或等價



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張愛玲《半生緣》