透過考慮兩點在圓上的垂直平分線以求該圓的方程

主題為「透過考慮兩點在圓上的垂直平分線以求該圓的方程」的題目樣本

題目

點 P{P} 及點 Q{Q} 的坐標分別為 (4,−7){\left({4},-{7}\right)} 及 (6,−5){\left({6},-{5}\right)} 。

(a)設 L{L} 為 PQ{P}{Q} 的垂直平分線。
(i)求 L{L} 的方程。
(ii)假定 G{G} 為 L{L} 上的一點。將 G{G} 的 x{x} 坐標記為 h{h} 。設 C{C} 為一圓，其圓心為 G{G} 且通過 P{P} 及 Q{Q} 。
證明 C{C} 的方程為 x2+y2−2hx+(2h+2)y+(22h−51)=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{h}{x}+{\left({2}{h}+{2}\right)}{y}+{\left({22}{h}-{51}\right)}={0} 。
(6 分)
(b)點 R{R} 的坐標為 (−22,−7){\left(-{22},-{7}\right)} 。利用 (a)(ii) ，或其他方法，求通過 P{P} 、 Q{Q} 及 R{R} 的圓的直徑。(3 分)

題解

(a)(i)PQ{P}{Q} 的中點
=(5,−6)={\left({5},-{6}\right)}
PQ{P}{Q} 的斜率
=−5+76−4=\dfrac{{-{5}+{7}}}{{{6}-{4}}}1M
=1={1}
L{L} 的斜率
=−1÷(1)=-{1}\div{\left({1}\right)}
=−1=-{1}
L{L} 的方程為
y+6=−1(x−5){y}+{6}=-{1}{\left({x}-{5}\right)}1M
y=−x−1{y}=-{x}-{1}1A或等價
(a)(ii)設 k{k} 為 G{G} 的 y{y} 坐標。
藉 (a)(i) ，可得 k=−h−1{k}=-{h}-{1} .1M
故此， G{G} 的坐標為 (h,−h−1){\left({h},-{h}-{1}\right)} 。
C{C} 的方程為
(x−h)2+[y−(−h−1)]2{\left({x}-{h}\right)}^{{2}}+{\left[{y}-{\left(-{h}-{1}\right)}\right]}^{{2}}=(4−h)2+[−7−(−h−1)]2={\left({4}-{h}\right)}^{{2}}+{\left[-{7}-{\left(-{h}-{1}\right)}\right]}^{{2}}1M
(x−h)2−(4−h)2{\left({x}-{h}\right)}^{{2}}-{\left({4}-{h}\right)}^{{2}}=[−7−(−h−1)]2−[y−(−h−1)]2={\left[-{7}-{\left(-{h}-{1}\right)}\right]}^{{2}}-{\left[{y}-{\left(-{h}-{1}\right)}\right]}^{{2}}
(x−2h+4)(x−4){\left({x}-{2}{h}+{4}\right)}{\left({x}-{4}\right)}=[−7+y−2(−h−1)](−y−7)={\left[-{7}+{y}-{2}{\left(-{h}-{1}\right)}\right]}{\left(-{y}-{7}\right)}a2+b2=(a+b)(a−b){a}^{{2}}+{b}^{{2}}={\left({a}+{b}\right)}{\left({a}-{b}\right)}
x2−2hx+4x−4x+8h−16{x}^{{2}}-{2}{h}{x}+{4}{x}-{4}{x}+{8}{h}-{16}=7y−y2+2(−h−1)y+49−7y+14(−h−1)={7}{y}-{y}^{{2}}+{2}{\left(-{h}-{1}\right)}{y}+{49}-{7}{y}+{14}{\left(-{h}-{1}\right)}
x2−2hx+8h−16{x}^{{2}}-{2}{h}{x}+{8}{h}-{16}=−y2+2(−h−1)y+49+14(−h−1)=-{y}^{{2}}+{2}{\left(-{h}-{1}\right)}{y}+{49}+{14}{\left(-{h}-{1}\right)}
x2+y2−2hx−2(−h−1)y+8h−16−49−14(−h−1)=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{h}{x}-{2}{\left(-{h}-{1}\right)}{y}+{8}{h}-{16}-{49}-{14}{\left(-{h}-{1}\right)}={0}
x2+y2−2hx+(2h+2)y+(22h−51)=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{h}{x}+{\left({2}{h}+{2}\right)}{y}+{\left({22}{h}-{51}\right)}={0}1A
(b)把通過 P{P} , Q{Q} 及 R{R} 的圓記為 C{C}。
留意到 C{C} 的圓心在 PQ{P}{Q} 的垂直平分線上。
設 h{h} 為 C{C} 的圓心的 x{x} 坐標。
藉 (a)(ii)，代入(−22,−7){\left(-{22},-{7}\right)} 後可得
(−22)2+(−7)2−2(h)(−22)+(2h+2)(−7)+(22h−51)=0{\left(-{22}\right)}^{{2}}+{\left(-{7}\right)}^{{2}}-{2}{\left({h}\right)}{\left(-{22}\right)}+{\left({2}{h}+{2}\right)}{\left(-{7}\right)}+{\left({22}{h}-{51}\right)}={0}1M給利用 (a)(ii)
解後可得 h=−9{h}=-{9} 。
故此， C{C} 的方程為 x2+y2+18x−16y−249{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{18}{x}-{16}{y}-{249}=0={0} 。
所求的直徑
=2(182)2+(−162)2−(−249)={2}\sqrt{{{\left(\dfrac{{18}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(-\dfrac{{16}}{{2}}\right)}^{{2}}-{\left(-{249}\right)}}}1M
=2394={2}\sqrt{{{394}}}1A

其他方法

(a)(i)L{L} 的坐標為
(x−4)2+(y+7)2{\left({x}-{4}\right)}^{{2}}+{\left({y}+{7}\right)}^{{2}}=(x−6)2+(y+5)2={\left({x}-{6}\right)}^{{2}}+{\left({y}+{5}\right)}^{{2}}2M1M+1M
x2−8x+16+y2+14y+49{x}^{{2}}-{8}{x}+{16}+{y}^{{2}}+{14}{y}+{49}=x2−12x+36+y2+10y+25={x}^{{2}}-{12}{x}+{36}+{y}^{{2}}+{10}{y}+{25}
4x+4y+4{4}{x}+{4}{y}+{4}=0={0}
y{y}=−x−1=-{x}-{1}1A或等價


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