證明在一正方內的兩三角形為全等，並證明一三角形為直角並求其一邊的長度

主題為「證明在一正方內的兩三角形為全等，並證明一三角形為直角並求其一邊的長度」的題目樣本

題目

圖中， ${A}{B}{C}{D}$ 為一正方形。 ${E}$ 及 ${F}$ 分別為 ${B}{C}$ 及 ${C}{D}$ 上的點使得 ${A}{E}={B}{F}$ 。 ${A}{E}$ 及 ${B}{F}$ 相交於 ${G}$ 。

{G}

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{F}

(a)	證明 $\triangle{A}{B}{E}\stackrel{\sim}{=}\triangle{B}{C}{F}$ 。	(2 分)
(b)	$\triangle{B}{G}{E}$ 是否一直角三角形？試解釋你的答案。	(3 分)
(c)	若 ${C}{F}={10}$ $\text{cm}$ 及 ${E}{G}={6}$ $\text{cm}$ ，求 ${B}{G}$ 。	(2 分)

題解

(a)
	${A}{B}$		$={B}{C}$	property of square
	${A}{E}$		$={B}{F}$	given
	$\angle{A}{B}{E}$		$={90}^{\circ}=\angle{B}{C}{F}$	property of square
	$\triangle{A}{B}{E}$		$\stackrel{\sim}{=}\triangle{B}{C}{F}$	RHS

	(a) 評分標準：
	情況 1	附有正確理由的正確完整證明。			2M
	情況 2	未附有正確理由的正確完整證明。			1M

(b)	設 $\angle{B}{A}{E}$		$={x}$ 。
	$\angle{C}{B}{F}$		$=\angle{B}{A}{E}={x}$	corr. ∠s ≅△s	1M
	∴ $\angle{A}{B}{G}$		$={90}^{\circ}-{x}$
	$\angle{B}{G}{E}$		$={x}+{\left({90}^{\circ}-{x}\right)}$	ext. ∠ of △	1M
			$={90}^{\circ}$
	因此， $\triangle{B}{G}{E}$ 為一直角三角形。				1A	必須顯示理由

(c)	${B}{E}={C}{F}={10}$ $\text{cm}$			corr. sides, ≅△s
	${B}{G}$
	$=\sqrt{{{B}{E}^{{2}}-{E}{G}^{{2}}}}$				1M
	$=\sqrt{{{10}^{{2}}-{6}^{{2}}}}$
	$={8}$ $\text{cm}$				1A

{G}

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{F}

{x}

{x}

{90}^{\circ}-{x}

其他方法

(b)	設 $\angle{B}{E}{A}={x}$ 。
	$\angle{C}{F}{B}$	$=\angle{B}{E}{A}={x}$	corr. ∠s ≅△s	1M
	∴ ${G}$ 、 ${E}$ 、 ${C}$ 及 ${F}$ 共圓。		ext. ∠ = int. opp. ∠	1M
	$\angle{B}{G}{E}$	$=\angle{E}{C}{F}={90}^{\circ}$	ext. ∠, cyclic quad.
	因此， $\triangle{B}{G}{E}$ 為一直角三角形。			1A	必須顯示理由

{G}

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{F}

{x}

{x}

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