證明在一正方內的兩三角形為全等,並證明一三角形為直角並求其一邊的長度

主題為「證明在一正方內的兩三角形為全等,並證明一三角形為直角並求其一邊的長度」的題目樣本

題目

圖中, ABCD{A}{B}{C}{D} 為一正方形。 E{E}F{F} 分別為 BC{B}{C}CD{C}{D} 上的點使得 AE=BF{A}{E}={B}{F}AE{A}{E}BF{B}{F} 相交於 G{G}

G{G}A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}F{F}

(a)證明 ABE=BCF\triangle{A}{B}{E}\stackrel{\sim}{=}\triangle{B}{C}{F}(2 分)
(b)BGE\triangle{B}{G}{E} 是否一直角三角形?試解釋你的答案。(3 分)
(c)CF=10{C}{F}={10} cm\text{cm}EG=6{E}{G}={6} cm\text{cm} ,求 BG{B}{G}(2 分)

題解

(a)
AB{A}{B}=BC={B}{C}property of square
AE{A}{E}=BF={B}{F}given
ABE\angle{A}{B}{E}=90=BCF={90}^{\circ}=\angle{B}{C}{F}property of square
ABE\triangle{A}{B}{E}=BCF\stackrel{\sim}{=}\triangle{B}{C}{F}RHS
(a) 評分標準:
情況 1附有正確理由的正確完整證明。2M
情況 2未附有正確理由的正確完整證明。1M
(b)BAE\angle{B}{A}{E}=x={x}
CBF\angle{C}{B}{F}=BAE=x=\angle{B}{A}{E}={x}corr. ∠s ≅△s1M
∴  ABG\angle{A}{B}{G}=90x={90}^{\circ}-{x}
BGE\angle{B}{G}{E}=x+(90x)={x}+{\left({90}^{\circ}-{x}\right)}ext. ∠ of △1M
=90={90}^{\circ}
因此, BGE\triangle{B}{G}{E} 為一直角三角形。1A必須顯示理由
(c)BE=CF=10{B}{E}={C}{F}={10} cm\text{cm}corr. sides, ≅△s
BG{B}{G}
=BE2EG2=\sqrt{{{B}{E}^{{2}}-{E}{G}^{{2}}}}1M
=10262=\sqrt{{{10}^{{2}}-{6}^{{2}}}}
=8={8} cm\text{cm}1A

G{G}A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}F{F}x{x}x{x}90x{90}^{\circ}-{x}
其他方法

(b)BEA=x\angle{B}{E}{A}={x}
CFB\angle{C}{F}{B}=BEA=x=\angle{B}{E}{A}={x}corr. ∠s ≅△s1M
∴  G{G}E{E}C{C}F{F} 共圓。ext. ∠ = int. opp. ∠1M
BGE\angle{B}{G}{E}=ECF=90=\angle{E}{C}{F}={90}^{\circ}ext. ∠, cyclic quad.
因此, BGE\triangle{B}{G}{E} 為一直角三角形。1A必須顯示理由

G{G}A{A}B{B}C{C}D{D}E{E}F{F}x{x}x{x}


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