線性規劃

主題為「線性規劃」的題目樣本

題目

(a)

圖中，陰影區域（包括邊界）是由直線

{L}_{{1}}

、

{L}_{{2}}

、

{x}

軸及

{y}

軸所圍成。

{L}_{{1}}

及

{L}_{{2}}

相交於

{\left({5},{6}\right)}

求代表該陰影區域的不等式組。

(4 分)

{x}

{y}

{\left({5},{6}\right)}

{7}

{13}

{L}_{{1}}

{L}_{{2}}

{O}

(b)

Reuben計劃生產

{A}

型藥水及

{B}

型藥水。

{B}

型藥水的重量及

{3}

倍

{A}

型藥水的重量之和不能多於

{21}

\text{g}

。

{A}

型藥水的生產為

$ 3

$$3$

/

\text{g}

，而

{B}

型藥水的生產為

$ 4

$$4$

/

\text{g}

。生產

{A}

型藥水及

{B}

型藥水的總成本不能多於

$ 39

$$39$ 。假設售出

{1}

\text{g}

的

{A}

藥水及

{B}

藥水的利潤分別為

$ 85

$$85$

及

$ 110

$$110$

。Reuben聲稱售出藥水的利潤

$ H

$$H$

可多於

$ 1086

$$1086$

。你是否同意？試解釋你的答案。

(4 分)

題解

(a)	${L}_{{1}}$ 的方程：
	$\dfrac{{{6}-{0}}}{{{5}-{7}}}$		$=\dfrac{{{y}-{0}}}{{{x}-{7}}}$	1M
	${3}{x}+{y}-{21}$		$={0}$	1A
	${L}_{{2}}$ 的方程：
	$\dfrac{{{6}-{0}}}{{{5}-{13}}}$		$=\dfrac{{{y}-{0}}}{{{x}-{13}}}$
	${3}{x}+{4}{y}-{39}$		$={0}$	1A
	不等式組：
		${3}{x}+{y}-{21}$	$\le{0}$	1A
		${3}{x}+{4}{y}-{39}$	$\le{0}$
		${x}$	$\ge{0}$
		${y}$	$\ge{0}$
(b)	設 ${x}$ $\text{g}$ 及 ${y}$ $\text{g}$ 分別為 ${A}$ 型藥水的生產重量及 ${B}$ 型藥水的生產重量。
	根據所給資料，可得
		${3}{x}+{y}$	$\le{21}$	1A
		${3}{x}+{4}{y}$	$\le{39}$
		${x}$	$\ge{0}$
		${y}$	$\ge{0}$
		${3}{x}+{y}-{21}$	$\le{0}$
		${3}{x}+{4}{y}-{39}$	$\le{0}$
		${x}$	$\ge{0}$
		${y}$	$\ge{0}$
	目標函數：
	${H}$		$={85}{x}+{110}{y}$	1A
	${L}_{{2}}$ 的 ${y}$ 軸截距為 $\dfrac{{39}}{{4}}$ .
	考慮陰影部份的頂點：
	At ${\left({0},{0}\right)},{H}={0}$			1M
	At ${\left({7},{0}\right)},{H}={595}$
	At ${\left({0},\dfrac{{39}}{{4}}\right)},{H}=\dfrac{{2145}}{{2}}$
	At ${\left({5},{6}\right)},{H}={1085}$
	因此，利潤的最大值是 $$ 1085$ $$1085$ 。
	因此，不同意Reuben。			1A

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