線性規劃

主題為「線性規劃」的題目樣本

題目

(a)圖中,陰影區域(包括邊界)是由直線 L1{L}_{{1}}L2{L}_{{2}}x{x} 軸及 y{y} 軸所圍成。 L1{L}_{{1}}L2{L}_{{2}} 相交於 (5,6){\left({5},{6}\right)} 求代表該陰影區域的不等式組。(4 分)

x{x}y{y}(5,6){\left({5},{6}\right)}7{7}13{13}L1{L}_{{1}}L2{L}_{{2}}O{O}

(b)Reuben計劃生產 A{A} 型藥水 及 B{B} 型藥水 。B{B} 型藥水的重量及 3{3}A{A} 型藥水的重量之和不能多於 21{21} g\text{g}A{A} 型藥水的生產為 $3//g\text{g} ,而 B{B} 型藥水的生產為 $4//g\text{g} 。生產 A{A} 型藥水及 B{B} 型藥水的總成本不能多於 $39 。假設售出 1{1} g\text{g}A{A} 藥水 及 B{B} 藥水的利潤分別為 $85 $110 。Reuben聲稱售出藥水的利潤 $H 可多於 $1086 。你是否同意?試解釋你的答案。(4 分)

題解

(a)L1{L}_{{1}} 的方程:
6057\dfrac{{{6}-{0}}}{{{5}-{7}}}=y0x7=\dfrac{{{y}-{0}}}{{{x}-{7}}}1M
3x+y21{3}{x}+{y}-{21}=0={0}1A
L2{L}_{{2}} 的方程:
60513\dfrac{{{6}-{0}}}{{{5}-{13}}}=y0x13=\dfrac{{{y}-{0}}}{{{x}-{13}}}
3x+4y39{3}{x}+{4}{y}-{39}=0={0}1A
不等式組:
3x+y21{3}{x}+{y}-{21}0\le{0}1A
3x+4y39{3}{x}+{4}{y}-{39}0\le{0}
x{x}0\ge{0}
y{y}0\ge{0}
(b)x{x} g\text{g}y{y} g\text{g} 分別為 A{A} 型藥水的生產重量 及 B{B} 型藥水的生產重量 。
根據所給資料,可得
3x+y{3}{x}+{y}21\le{21}1A
3x+4y{3}{x}+{4}{y}39\le{39}
x{x}0\ge{0}
y{y}0\ge{0}
3x+y21{3}{x}+{y}-{21}0\le{0}
3x+4y39{3}{x}+{4}{y}-{39}0\le{0}
x{x}0\ge{0}
y{y}0\ge{0}
目標函數:
H{H}=85x+110y={85}{x}+{110}{y}1A
L2{L}_{{2}}y{y} 軸截距為 394\dfrac{{39}}{{4}} .
考慮陰影部份的頂點:
At (0,0),H=0{\left({0},{0}\right)},{H}={0}1M
At (7,0),H=595{\left({7},{0}\right)},{H}={595}
At (0,394),H=21452{\left({0},\dfrac{{39}}{{4}}\right)},{H}=\dfrac{{2145}}{{2}}
At (5,6),H=1085{\left({5},{6}\right)},{H}={1085}
因此,利潤的最大值是$1085
因此,不同意Reuben。1A



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