### 線性規劃

 (a) 圖中，陰影區域（包括邊界）是由直線 ${L}_{{1}}$ 、 ${L}_{{2}}$ 、 ${x}$ 軸及 ${y}$ 軸所圍成。 ${L}_{{1}}$ 及 ${L}_{{2}}$ 相交於 ${\left({5},{6}\right)}$ 求代表該陰影區域的不等式組。 (4 分)

${x}$${y}$${\left({5},{6}\right)}$${7}$${13}$${L}_{{1}}$${L}_{{2}}$${O}$

 (b) Reuben計劃生產 ${A}$ 型藥水 及 ${B}$ 型藥水 。${B}$ 型藥水的重量及 ${3}$ 倍 ${A}$ 型藥水的重量之和不能多於 ${21}$ $\text{g}$ 。 ${A}$ 型藥水的生產為 $3$3$$/$$\text{g}$ ，而 ${B}$ 型藥水的生產為$4$4$$/$$\text{g}$ 。生產 ${A}$ 型藥水及 ${B}$ 型藥水的總成本不能多於 $39$39$ 。假設售出 ${1}$ $\text{g}$ 的 ${A}$ 藥水 及 ${B}$ 藥水的利潤分別為$85$85$  及 $110$110$  。Reuben聲稱售出藥水的利潤$H$H$  可多於 $1086$1086$  。你是否同意？試解釋你的答案。 (4 分) 題解  (a) ${L}_{{1}}$ 的方程： $\dfrac{{{6}-{0}}}{{{5}-{7}}}$ $=\dfrac{{{y}-{0}}}{{{x}-{7}}}$ 1M ${3}{x}+{y}-{21}$ $={0}$ 1A ${L}_{{2}}$ 的方程： $\dfrac{{{6}-{0}}}{{{5}-{13}}}$ $=\dfrac{{{y}-{0}}}{{{x}-{13}}}$ ${3}{x}+{4}{y}-{39}$ $={0}$ 1A 不等式組： ${3}{x}+{y}-{21}$ $\le{0}$ 1A ${3}{x}+{4}{y}-{39}$ $\le{0}$ ${x}$ $\ge{0}$ ${y}$ $\ge{0}$ (b) 設 ${x}$ $\text{g}$ 及 ${y}$ $\text{g}$ 分別為 ${A}$ 型藥水的生產重量 及 ${B}$ 型藥水的生產重量 。 根據所給資料，可得 ${3}{x}+{y}$ $\le{21}$ 1A ${3}{x}+{4}{y}$ $\le{39}$ ${x}$ $\ge{0}$ ${y}$ $\ge{0}$ ${3}{x}+{y}-{21}$ $\le{0}$ ${3}{x}+{4}{y}-{39}$ $\le{0}$ ${x}$ $\ge{0}$ ${y}$ $\ge{0}$ 目標函數： ${H}$ $={85}{x}+{110}{y}$ 1A ${L}_{{2}}$ 的 ${y}$ 軸截距為 $\dfrac{{39}}{{4}}$ . 考慮陰影部份的頂點： At ${\left({0},{0}\right)},{H}={0}$ 1M At ${\left({7},{0}\right)},{H}={595}$ At ${\left({0},\dfrac{{39}}{{4}}\right)},{H}=\dfrac{{2145}}{{2}}$ At ${\left({5},{6}\right)},{H}={1085}$ 因此，利潤的最大值是$1085$1085$  。 因此，不同意Reuben。 1A

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