等比數列之和、對數、二次不等式

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題目

Diana對某城市的病床數量進行研究。已知第 1{1} 年完結時病床的總數量為 96000{96000} ,並且在隨後各年裡,每年所新增的病床的總數量均為前一年完結時全部病床的數量之 r%{r}\% ,其中 r{r} 為一常數,而每年所棄置的病床的總數量均為 3600{3600} 。現知第 3{3} 年完結時病床的總數量為 1.086×105{1.086}\times{10}^{{5}}

(a)(i)r{r} 表第 2{2} 年完結時病床的總數量。
(ii)r{r}
(4 分)
(b)(i)n{n} 表第 n{n} 年完結時病床的總數量。
(ii)哪一年完結時病床的總數量會首次超過 5.52×105{5.52}\times{10}^{{5}}
(5 分)
(c)現假設第 n{n} 年完結時所需的病床的總數量為 (a(1.21)n+b){\left({a}{\left({1.21}\right)}^{{n}}+{b}\right)} ,其中 a{a}b{b} 均為常數。研究顯示,第 1{1} 年及第 2{2} 年完結時所需的病床的總數量分別為 1.0104×105{1.0104}\times{10}^{{5}}1.071384×105{1.071384}\times{10}^{{5}} 。Diana宣稱基於上述假設,某年完結時病床的總數量會大於所需的病床的總數量。該宣稱是否正確?試解釋你的答案。(4 分)

題解

(ai)所求的病床數量
=96000(1+r%)3600={96000}{\left({1}+{r}\%\right)}-{3600}1A
=960r+92400={960}{r}+{92400}
(aii)(96000(1+r%)3600)(1+r%)3600{\left({96000}{\left({1}+{r}\%\right)}-{3600}\right)}{\left({1}+{r}\%\right)}-{3600}=1.086×105={1.086}\times{10}^{{5}}1M
160(1+r%)26(1+r%)187{160}{\left({1}+{r}\%\right)}^{{2}}-{6}{\left({1}+{r}\%\right)}-{187}=0={0}1M
(1+r%)=1.1{\left({1}+{r}\%\right)}={1.1}(1+r%)=1716{\left({1}+{r}\%\right)}=-\dfrac{{17}}{{16}} (捨去)
因此,可得 r=10{r}={10}1A
(bi)所求的病床數量
=96000(1.1)n13600(1.1)n23600(1.1)n33600={96000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}-{3600}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{2}}}-{3600}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{3}}}-\ldots-{3600}1M
=96000(1.1)n13600(1.1n111.11)={96000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}-{3600}{\left(\dfrac{{{1.1}^{{{n}-{1}}}-{1}}}{{{1.1}-{1}}}\right)}1M給等比數列之和
=96000(1.1)n136000(1.1n11)={96000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}-{36000}{\left({1.1}^{{{n}-{1}}}-{1}\right)}
=(60000(1.1)n1+36000)={\left({60000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{36000}\right)}1A
(bii)60000(1.1)n1+36000>5.52×105{60000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{36000}>{5.52}\times{10}^{{5}}
1.1n1>435{1.1}^{{{n}-{1}}}>\dfrac{{43}}{{5}}
log(1.1)n1>log(435){{\log{{\left({1.1}\right)}}}^{{{n}-{1}}}>}{\log{{\left(\dfrac{{43}}{{5}}\right)}}}1M
(n1)log(1.1)>log(435){\left({n}-{1}\right)}{\log{{\left({1.1}\right)}}}>{\log{{\left(\dfrac{{43}}{{5}}\right)}}}
n1>log(435)log(1.1){n}-{1}>\dfrac{{{\log{{\left(\dfrac{{43}}{{5}}\right)}}}}}{{{\log{{\left({1.1}\right)}}}}}
n>23.576415317619833{n}>{23.576415317619833}
因此,第 24{24} 年完結時病床的總數量會首次超過 5.52×105{5.52}\times{10}^{{5}}1A
(c)留意 a(1.21)1+b=1.0104×105{a}{\left({1.21}\right)}^{{1}}+{b}={1.0104}\times{10}^{{5}}a(1.21)2+b=1.071384×105{a}{\left({1.21}\right)}^{{2}}+{b}={1.071384}\times{10}^{{5}}
求解後,可得 a=24000{a}={24000}b=72000{b}={72000}1M
考慮 60000(1.1)n1+36000>(24000(1.21)n+72000){60000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{36000}>{\left({24000}{\left({1.21}\right)}^{{n}}+{72000}\right)}()\ldots{\left(\ast\right)}
22((1.1)n1)250(1.1)n1+33<0{22}{\left({\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}\right)}^{{2}}-{50}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{33}<{0}1M
Δ=(50)24(22)(33)\Delta={\left(-{50}\right)}^{{2}}-{4}{\left({22}\right)}{\left({33}\right)}
=404=-{404}
<0<{0}
由於 22>0{22}>{0} ,對所有 n{n} ,可得 22((1.1)n1)250(1.1)n1+33>0{22}{\left({\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}\right)}^{{2}}-{50}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{33}>{0}
由此,可得 (){\left(\ast\right)} 沒有解。1M
因此,該宣稱不正確。1A



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