等比數列之和、對數、二次不等式

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題目

Diana對某城市的病床數量進行研究。已知第 1{1} 年完結時病床的總數量為 96000{96000} 張 ，並且在隨後各年裡，每年所新增的病床的總數量均為前一年完結時全部病床的數量之 r%{r}\% ，其中 r{r} 為一常數，而每年所棄置的病床的總數量均為 3600{3600} 張 。現知第 3{3} 年完結時病床的總數量為 1.086×105{1.086}\times{10}^{{5}} 張。

(a)(i)以 r{r} 表第 2{2} 年完結時病床的總數量。
(ii)求 r{r} 。
(4 分)
(b)(i)以 n{n} 表第 n{n} 年完結時病床的總數量。
(ii)哪一年完結時病床的總數量會首次超過 5.52×105{5.52}\times{10}^{{5}} 張 ？
(5 分)
(c)現假設第 n{n} 年完結時所需的病床的總數量為 (a(1.21)n+b){\left({a}{\left({1.21}\right)}^{{n}}+{b}\right)} 張 ，其中 a{a} 及 b{b} 均為常數。研究顯示，第 1{1} 年及第 2{2} 年完結時所需的病床的總數量分別為 1.0104×105{1.0104}\times{10}^{{5}} 張 及 1.071384×105{1.071384}\times{10}^{{5}} 張 。Diana宣稱基於上述假設，某年完結時病床的總數量會大於所需的病床的總數量。該宣稱是否正確？試解釋你的答案。(4 分)

題解

(ai)所求的病床數量
=96000(1+r%)−3600={96000}{\left({1}+{r}\%\right)}-{3600}1A
=960r+92400={960}{r}+{92400}
(aii)(96000(1+r%)−3600)(1+r%)−3600{\left({96000}{\left({1}+{r}\%\right)}-{3600}\right)}{\left({1}+{r}\%\right)}-{3600}=1.086×105={1.086}\times{10}^{{5}}1M
160(1+r%)2−6(1+r%)−187{160}{\left({1}+{r}\%\right)}^{{2}}-{6}{\left({1}+{r}\%\right)}-{187}=0={0}1M
(1+r%)=1.1{\left({1}+{r}\%\right)}={1.1} 或 (1+r%)=−1716{\left({1}+{r}\%\right)}=-\dfrac{{17}}{{16}} （捨去）
因此，可得 r=10{r}={10} 。1A
(bi)所求的病床數量
=96000(1.1)n−1−3600(1.1)n−2−3600(1.1)n−3−…−3600={96000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}-{3600}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{2}}}-{3600}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{3}}}-\ldots-{3600}1M
=96000(1.1)n−1−3600(1.1n−1−11.1−1)={96000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}-{3600}{\left(\dfrac{{{1.1}^{{{n}-{1}}}-{1}}}{{{1.1}-{1}}}\right)}1M給等比數列之和
=96000(1.1)n−1−36000(1.1n−1−1)={96000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}-{36000}{\left({1.1}^{{{n}-{1}}}-{1}\right)}
=(60000(1.1)n−1+36000)={\left({60000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{36000}\right)} 張1A
(bii)設 60000(1.1)n−1+36000>5.52×105{60000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{36000}>{5.52}\times{10}^{{5}}
1.1n−1>435{1.1}^{{{n}-{1}}}>\dfrac{{43}}{{5}}
log(1.1)n−1>log(435){{\log{{\left({1.1}\right)}}}^{{{n}-{1}}}>}{\log{{\left(\dfrac{{43}}{{5}}\right)}}}1M
(n−1)log(1.1)>log(435){\left({n}-{1}\right)}{\log{{\left({1.1}\right)}}}>{\log{{\left(\dfrac{{43}}{{5}}\right)}}}
n−1>log(435)log(1.1){n}-{1}>\dfrac{{{\log{{\left(\dfrac{{43}}{{5}}\right)}}}}}{{{\log{{\left({1.1}\right)}}}}}
n>23.576415317619833{n}>{23.576415317619833}
因此，第 24{24} 年完結時病床的總數量會首次超過 5.52×105{5.52}\times{10}^{{5}} 張 。1A
(c)留意 a(1.21)1+b=1.0104×105{a}{\left({1.21}\right)}^{{1}}+{b}={1.0104}\times{10}^{{5}} 及 a(1.21)2+b=1.071384×105{a}{\left({1.21}\right)}^{{2}}+{b}={1.071384}\times{10}^{{5}} 。
求解後，可得 a=24000{a}={24000} 及 b=72000{b}={72000} 。1M
考慮 60000(1.1)n−1+36000>(24000(1.21)n+72000){60000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{36000}>{\left({24000}{\left({1.21}\right)}^{{n}}+{72000}\right)}…(∗)\ldots{\left(\ast\right)}
22((1.1)n−1)2−50(1.1)n−1+33<0{22}{\left({\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}\right)}^{{2}}-{50}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{33}<{0}1M
Δ=(−50)2−4(22)(33)\Delta={\left(-{50}\right)}^{{2}}-{4}{\left({22}\right)}{\left({33}\right)}
=−404=-{404}
<0<{0}
由於 22>0{22}>{0} ，對所有 n{n} ，可得 22((1.1)n−1)2−50(1.1)n−1+33>0{22}{\left({\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}\right)}^{{2}}-{50}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{33}>{0} 。
由此，可得 (∗){\left(\ast\right)} 沒有解。1M
因此，該宣稱不正確。1A


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