穿過圓的垂直線，截點公式

主題為「穿過圓的垂直線，截點公式」的題目樣本

題目

圖中， ${L}_{{1}}$ 為一直線，它與一圓相交於 ${A}{\left({42},{77}\right)}$ 及 ${B}{\left({14},-{7}\right)}$ ，使得 ${A}{B}$ 為該圓的直徑。另一直線 ${L}_{{2}}:{y}={m}{x}+{c}$ 與該圓相交於 ${C}$ 及 ${D}$ 。 ${L}_{{1}}$ 與 ${L}_{{2}}$ 相交於 ${M}$ ，其中 ${M}$ 為 ${C}{D}$ 的中點，若 ${A}{M}:{M}{B}={3}:{1}$ ，則

{x}

{y}

{A}

{B}

{M}

{C}

{D}

{L}_{{1}}

{L}_{{2}}

{m}=-\dfrac{{1}}{{3}}

{c}={21}

{m}=\dfrac{{1}}{{3}}

{c}=-{21}

{m}={3}

{c}={77}

{m}=-{3}

{c}={77}

題解

${A}{B}$ 的斜率 $=\dfrac{{{77}-{\left(-{7}\right)}}}{{{42}-{\left({14}\right)}}}={3}$
∵ ${A}{B}$ 為一直徑且 ${M}$ 為 ${C}{D}$ 的中點。
∴ ${A}{B}\bot{C}{D}$		line joining centre to mid-pt. of chord ⊥ chord
∴ ${\left({L}_{{1}}\right.}$ 的斜率 ${)}\times{\left({L}_{{2}}\right.}$ 的斜率 ${)}$	$=-{1}$
${m}\times{3}$	$=-{1}$
${m}$	$=-\dfrac{{1}}{{3}}$

	${M}$		$={\left(\dfrac{{{\left({42}\right)}+{3}{\left({14}\right)}}}{{{3}+{1}}},\dfrac{{{\left({77}\right)}+{3}{\left(-{7}\right)}}}{{{3}+{1}}}\right)}={\left({21},{14}\right)}$
	利用點斜式， ${L}_{{2}}$ 的方程：
	${y}$		$=-\dfrac{{1}}{{3}}{x}+{21}$

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