穿過圓的垂直線,截點公式

主題為「穿過圓的垂直線,截點公式」的題目樣本

題目

圖中,L1{L}_{{1}} 為一直線,它與一圓相交於 A(42,77){A}{\left({42},{77}\right)}B(14,7){B}{\left({14},-{7}\right)} ,使得 AB{A}{B} 為該圓的直徑。另一直線 L2:y=mx+c{L}_{{2}}:{y}={m}{x}+{c} 與該圓相交於 C{C}D{D}L1{L}_{{1}}L2{L}_{{2}} 相交於 M{M} ,其中 M{M}CD{C}{D} 的中點,若 AM:MB=3:1{A}{M}:{M}{B}={3}:{1} ,則

x{x}y{y}A{A}B{B}M{M}C{C}D{D}L1{L}_{{1}}L2{L}_{{2}}
A
m=13{m}=-\dfrac{{1}}{{3}} , c=21{c}={21}
B
m=13{m}=\dfrac{{1}}{{3}} , c=21{c}=-{21}
C
m=3{m}={3} , c=77{c}={77}
D
m=3{m}=-{3} , c=77{c}={77}
題解

AB{A}{B} 的斜率=77(7)42(14)=3=\dfrac{{{77}-{\left(-{7}\right)}}}{{{42}-{\left({14}\right)}}}={3}
∵  AB{A}{B} 為一直徑且 M{M}CD{C}{D} 的中點。
∴  ABCD{A}{B}\bot{C}{D}line joining centre to mid-pt. of chord ⊥ chord
∴  (L1{\left({L}_{{1}}\right.} 的斜率)×(L2{)}\times{\left({L}_{{2}}\right.} 的斜率){)}=1=-{1}
m×3{m}\times{3}=1=-{1}
m{m}=13=-\dfrac{{1}}{{3}}

M{M}=((42)+3(14)3+1,(77)+3(7)3+1)=(21,14)={\left(\dfrac{{{\left({42}\right)}+{3}{\left({14}\right)}}}{{{3}+{1}}},\dfrac{{{\left({77}\right)}+{3}{\left(-{7}\right)}}}{{{3}+{1}}}\right)}={\left({21},{14}\right)}
利用點斜式,L2{L}_{{2}} 的方程:
y{y}=13x+21=-\dfrac{{1}}{{3}}{x}+{21}



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席慕蓉《透明的哀傷》