直線方程，軌跡及圓形

主題為「直線方程，軌跡及圓形」的題目樣本

題目

兩平行線 ${L}$ 及 ${l}$ 的 ${y}$ 截距分別為 $-{1}$ 及 $-{3}$ ，且 ${L}$ 的 ${x}$ 截距為 ${3}$ 。 ${S}$ 為直角坐標平面上的一動點使得由 ${S}$ 至 ${L}$ 的垂直距離等於由 ${S}$ 至 ${l}$ 的垂直距離。將 ${S}$ 的軌跡記為 $\Gamma$ 。

(a)	(i)	描述 $\Gamma$ 與 ${L}$ 之間的幾何關係。	(5 分)
	(ii)	求 $\Gamma$ 的方程。
(b)	圓 ${C}$ 的方程為 ${\left({x}-{6}\right)}^{{2}}+{y}^{{2}}={4}$ 。將 ${C}$ 的圓心記為 ${G}$ 。		(4 分)
	(i)	$\Gamma$ 是否通過 ${G}$ ？試解釋你的答案。
	(ii)	若 ${L}$ 與 ${C}$ 相交於 ${A}$ 及 ${B}$ 而 $\Gamma$ 與 ${C}$ 相交於 ${H}$ 及 ${K}$ ，求 $\triangle{A}{G}{H}$ 的面積與 $\triangle{B}{G}{K}$ 的面積之比。

題解

(ai)	$\Gamma$ 平行於 ${L}$ 。		1A
(aii)	留意 $\Gamma$ 的 ${y}$ 截距為 $-{2}$ 。		1A
	${L}$ 的斜率	$=\dfrac{{-{1}-{0}}}{{{0}-{3}}}$	1M
		$=\dfrac{{1}}{{3}}$	1A
	$\Gamma$ 的方程為
	${y}+{2}$	$=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({x}-{0}\right)}$
	${x}-{3}{y}-{6}$	$={0}$	1A

(bi)	留意 ${G}$ 的坐標為 ${\left({6},{0}\right)}$ 。		1A
	由於 ${\left({6}\right)}-{3}{\left({0}\right)}-{6}$	$={0}$ ，所以 $\Gamma$ 通過 ${G}$ 。	1A

(bii)	留意 ${G}{H}$ 及 ${G}{K}$ 均為該圓的半徑。		1M
	再留意 $\triangle{A}{G}{H}$ 及 $\triangle{B}{G}{K}$ 的高均為 ${L}$ 與 $\Gamma$ 間之距離。		1M
	所以， $\triangle{A}{G}{H}$ 的面積等於 $\triangle{B}{u}{n}{d}{e}{f}\in{e}{d}$ 的面積。
	因此，所求之比為 ${1}:{1}$ 。		1A

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