直立三角柱體的角度

主題為「直立三角柱體的角度」的題目樣本

題目

圖中， ${A}{B}{C}{D}{E}{F}$ 為一直立三角柱體。已知 ${A}{B}={32}$ $\text{cm}$ ， ${B}{F}={8}$ $\text{cm}$ 及 $\angle{B}{C}{F}={39}^{\circ}$ 。 ${M}$ 為 ${C}{D}$ 上的一點使得 ${D}{M}={20}$ $\text{cm}$ 及 ${B}{M}={26}$ $\text{cm}$ 。求 ${E}{M}$ 與 ${B}{M}$ 之間的夾角，答案準確至最接近的 ${0.1}^{\circ}$ 。

{E}

{F}

{A}

{C}

{D}

{B}

{M}

{26}

\text{cm}

{83.0}^{\circ}

{83.5}^{\circ}

{81.1}^{\circ}

{86.6}^{\circ}

題解

連接 ${A}{M}$ 及 ${B}{E}$ 。
在 $\triangle{B}{C}{F}$ 中，
${\tan}\angle{B}{C}{F}$	$=\dfrac{{{B}{F}}}{{{B}{C}}}$
${{\tan{{39}}}^{\circ}}$	$=\dfrac{{8}}{{{B}{C}}}$
${B}{C}$	$=\dfrac{{8}}{{{\tan{{39}}}^{\circ}}}$ $\text{cm}$

在 $\triangle{D}{A}{M}$ 中，
${A}{M}^{{2}}$	$={A}{D}^{{2}}+{D}{M}^{{2}}$	Pyth. theorem
${A}{M}$	$=\sqrt{{{\left(\dfrac{{8}}{{{\tan{{39}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}+{20}^{{2}}}}$
	$={22.306907969998324}$ $\text{cm}$

在 $\triangle{A}{E}{M}$ 中，
${E}{M}^{{2}}$	$={A}{M}^{{2}}+{A}{E}^{{2}}$	Pyth. theorem
${E}{M}$	$=\sqrt{{{A}{M}^{{2}}+{8}^{{2}}}}$
	$={23.698062013210592}$ $\text{cm}$

在 $\triangle{B}{E}{F}$ 中，
${B}{E}^{{2}}$	$={E}{F}^{{2}}+{B}{F}^{{2}}$	Pyth. theorem
${B}{E}$	$=\sqrt{{{32}^{{2}}+{8}^{{2}}}}$
	$={8}\sqrt{{{17}}}$ $\text{cm}$

在 $\triangle{B}{E}{M}$ 中，由餘弦公式，
${\cos}\angle{B}{M}{E}$	$=\dfrac{{{B}{M}^{{2}}+{E}{M}^{{2}}-{B}{E}^{{2}}}}{{{2}{\left({B}{M}\right)}{\left({E}{M}\right)}}}$
	$={0.12139757956918154}$
$\angle{B}{M}{E}$	$={83.02723227429242}^{\circ}$

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